第一章 行列式

二、行列式的性质

1. 性质一 行列式与转置行列式 (行列互换的行列式) 的值相等, 即

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2. 性质二 交换变换：交换两行, 行列式反号
   • 推论1 行列式中某两行元素相同, 行列式为 0
3. 性质三 倍乘变换：某行乘

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   , 行列式乘

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   • 推论2 行列式中某行元素全为 0 , 行列式为 0
   • 推论3 行列式中某两行元素对应成比例, 行列式为 0
   • 推论4 所有行乘

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     , 行列式乘

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     , 即

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4. 性质四 拆分: 行拆分, 对应行列式拆分, 即
   

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   =

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   +

5. 性质五 倍加变换：行列式不变

三、行列式的计算

1. 三角行列式
   

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   =
   

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   =
   

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   =

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   ---

   
   

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   =
   

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   =
   

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   =

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2. 行列式展开定理
   1. 子式：选定

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      行、

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      列交叉，得

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      阶子式
      顺序主子式：选定前

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      行，前

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      列交叉，得

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      阶顺序主子式
   2. 余子式: 划去元素

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      所在的第

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      行、第

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      列后, 余下的元素按原来的位置排成的

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      阶行列式, 称为元素

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      的余子式, 记作

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      。
      代数余子式:

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      为

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      的代数余子式
   3. 按行 (列) 展开定理
      

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      , 即行列式 = 某行 (列) 元素与对应代数余子式之积的和:

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3. 范德蒙行列式
   

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   =

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   =

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   =

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四、克莱姆法则

其中（II）称为非齐次线性方程组，（I）称为（II）对应的齐次线性方程组或（II）的导出组。

定理1 (II) 有唯一解的充要条件是

, 此时 , 其中

(II) 无解或有无穷多解

定理2（I）只有零解的充要条件是

； （I）有韭零解 (无穷多解）的充要条件是 。

齐次：D≠0——只有零解；D=0——有非零解（无穷多解）

非齐次：D≠0——有唯一解；D=0——无解（无穷多解）