第二章 矩阵

一、基本概念

1. 定义
   由

   Initializing MathJax...

   个数

   Initializing MathJax...

   排列成的

   Initializing MathJax...

   行

   Initializing MathJax...

   列数表

   Initializing MathJax...

   ， 称为

   Initializing MathJax...

   矩阵, 简记为

   Initializing MathJax...

   , 当

   Initializing MathJax...

   时,

   Initializing MathJax...

   也称为 n 阶方阵或 n 阶矩阵。
   两个矩阵

   Initializing MathJax...

   , 如果

   Initializing MathJax...

   则称它们为同型矩阵。如果两个同型矩阵

   Initializing MathJax...

   
   对应的元素相等, 也即

   Initializing MathJax...

   , 则称矩阵

   Initializing MathJax...

   与矩阵

   Initializing MathJax...

   相等, 记作

   Initializing MathJax...

   。
2. 特殊矩阵

   2-7矩阵都是方阵

   1. 零矩阵

      Initializing MathJax...

      : 元素都是零的矩阵;
   2. 单位矩阵:

      Initializing MathJax...

      ;
   3. 数量矩阵:

      Initializing MathJax...

      ;
   4. 对角矩阵:

      Initializing MathJax...

      ;
   5. 上下三角矩阵：

      Initializing MathJax...

      ；
   6. 对称矩阵:

      Initializing MathJax...

      ;
   7. 反对称矩阵:

      Initializing MathJax...

      。

二、矩阵的运算

1. 矩阵的线性运算及运算律
   1. 加法
      设 $\boldsymbol{A}=\left(a_\right){m \times n}, \quad \boldsymbol{B}=\left(b\right)_{m \times n}$ 是两个 $m \times n$ 矩阵, 定义矩阵

      Initializing MathJax...

      为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的和, 记作

      Initializing MathJax...

      。
   2. 数乘
      数 $k$ 与矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的乘积记作 $k \boldsymbol{A}$ 或 $\boldsymbol{A} k$ ， 规定为

      Initializing MathJax...

      。
   3. 运算律

      Initializing MathJax...

      Initializing MathJax...

      Initializing MathJax...

      Initializing MathJax...

      Initializing MathJax...

2. 矩阵的乘法及运算律
   1. 定义

      Initializing MathJax...

      
      其中，

      Initializing MathJax...

      Initializing MathJax...

   2. 运算律
      (1) 交换律:

      Initializing MathJax...

      
      特别地,

      Initializing MathJax...

      Initializing MathJax...

      Initializing MathJax...

      Initializing MathJax...

      Initializing MathJax...

      
      (2) 结合律:

      Initializing MathJax...

      
      (3) 分配律:

      Initializing MathJax...

      Initializing MathJax...

      
      (4) 消去律:

      Initializing MathJax...

      或

      Initializing MathJax...

      Initializing MathJax...

      
      特别地,

      Initializing MathJax...

      (

      Initializing MathJax...

      可逆)

      Initializing MathJax...

3. 幂运算及运算律
   1. 定义

      Initializing MathJax...

      
      规定:

      Initializing MathJax...

   2. 运算律

      Initializing MathJax...

      Initializing MathJax...

   3. 多项式
      设多项式

      Initializing MathJax...

      ，

      Initializing MathJax...

      
      称为矩阵

      Initializing MathJax...

      的

      Initializing MathJax...

      次多项式。

【注】常见运算性质：

(1)

(2)

可因式分解, 如: ,

5. 矩阵的行列式
   1. 转置:

      Initializing MathJax...

   2. 数乘:

      Initializing MathJax...

   3. 乘方:

      Initializing MathJax...

   4. 乘积:

      Initializing MathJax...

      为方阵,

      Initializing MathJax...

   5. 加法:

      Initializing MathJax...

      , 转化为乘法计算
   
   还有：

   • Initializing MathJax...

   • Initializing MathJax...

   • Initializing MathJax...

   • Initializing MathJax...

三、逆矩阵

1. 定义

   类比：互为倒数

   
   

   Initializing MathJax...

   为方阵, 若

   Initializing MathJax...

   , 称

   Initializing MathJax...

   可逆, 记

   Initializing MathJax...

2. 运算
   1. 数乘:

      Initializing MathJax...

   2. 转置:

      Initializing MathJax...

   3. 逆的逆：

      Initializing MathJax...

   4. 乘积:

      Initializing MathJax...

      可逆), 即

      Initializing MathJax...

   5. 乘方:

      Initializing MathJax...

   6. 行列式:

      Initializing MathJax...

   7. 分块:

      Initializing MathJax...

   8. 加法:

      Initializing MathJax...

      (加法的逆转化为乘法)
   
   还有：(穿脱原理)

   • Initializing MathJax...

   • Initializing MathJax...

   • Initializing MathJax...

逆的计算

定义法: 构造

或

初等变换法 (交换、㜔乘、倍加) :

(注: 只能做行变换)

四、分块矩阵

1. 定义
2. 运算
   (1) 加法: 同型, 且分法一致, 则

   Initializing MathJax...

   
   (2) 数乘:

   Initializing MathJax...

   
   (3) 乘法:

   Initializing MathJax...

   , 要可乘, 可加;
   (4) 转置:

   Initializing MathJax...

   ;
   (5) 设

   Initializing MathJax...

   分别为

   Initializing MathJax...

   阶方阵, 则分块对角阵的幂为:

   Initializing MathJax...

   。
3. 线性方程组的矩阵形式

(1) 一般形式

（2）矩阵形式:

, 其中 ;

其中

为系数矩阵, 为增广矩阵

五、矩阵的初等变换

1. 初等变换
   以下三种变换称为矩阵的初等行（列）变换：
   1. 对换两行（列）；
   2. 用数

      Initializing MathJax...

      乘以某一行（列）的所有元素;
   3. 用某一行（列）的所有元素的

      Initializing MathJax...

      倍加到另一行（列）对应元素上去.
2. 等价矩阵
   1. 定义:

      Initializing MathJax...

      , 称 B 与 A 等价, 记为

      Initializing MathJax...

   2. 等价判定
      a.

      Initializing MathJax...

      存在可逆阵 P, Q 使 PAQ=B
      b.

      Initializing MathJax...

      同型时,

      Initializing MathJax...

3. 初等矩阵

(1) 定义

单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。三种初等变换对应三种初等矩阵; 三种初等矩阵分别为:

交换阵

：交换 i, j 行（列）

倍乘阵

行 (列) 乘 k

倍加阵

行 k 倍加到第 i 行, 或 i 列 k 倍加到第 j 列

口诀：初等矩阵的逆

交换不变，数乘取倒，倍加取反

性质：左行右列。初等矩阵左乘A矩阵，则行变换；右乘A矩阵，列变换；

六、矩阵的秩

1. 定义
   1. k 阶子式
      在

      Initializing MathJax...

      矩阵 A 中, 任取 k 行 k 列

      Initializing MathJax...

      ， 位于这些行列交叉处的

      Initializing MathJax...

      个元素, 不改变它们在矩阵 A 中所处的位置而得到的 k 阶行列式, 称为矩阵 A 的 k 阶子式。
      注： n 阶方阵 A 的 n 阶子式就是

      Initializing MathJax...

      的 n-1 阶子式就是

      Initializing MathJax...

      的每一个元素的余子式。
   2. 秩
      如果矩阵 A 中存在 r 阶子式

      Initializing MathJax...

      , 且 A 的所有的 r+1 阶子式全为 0 (如果有的话), 则 D叫做 A 的最高阶非零子式, r 叫做 A 的秩, 记作

      Initializing MathJax...

      . 规定零矩阵的秩为 0 。
      a.

      Initializing MathJax...

      
      b.

      Initializing MathJax...

      
      c.

      Initializing MathJax...

      , 且 A 的任意两行 (列) 成比例
      d.

      Initializing MathJax...

      , 称行满秩;

      Initializing MathJax...

      , 称列满秼;

      Initializing MathJax...

      , 有

      Initializing MathJax...

      , 称满秩。

      Initializing MathJax...

      可逆

      Initializing MathJax...

      不可逆

3.秩与运算

1. Initializing MathJax...

   ;

2. Initializing MathJax...

   ;

3. Initializing MathJax...

   ;

4. Initializing MathJax...

   (即乘积的秩是越乘越小);
5. 若

   Initializing MathJax...

   可逆, 则

   Initializing MathJax...

   ；
6. 若

   Initializing MathJax...

   , 则

   Initializing MathJax...

   （ n 为

   Initializing MathJax...

   的列数）；

7. Initializing MathJax...

   , 则

   Initializing MathJax...

   (初等变换不改变矩阵的秩);

8. Initializing MathJax...

   ;
   特别地, 当

   Initializing MathJax...

   为列向量时, 有

   Initializing MathJax...

   ; 类似有

   Initializing MathJax...

   ;

9. Initializing MathJax...

   。