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第三章 向量和方程组

一、线性方程组的基本概念

  1. 方程组的基本形式

设有 $n$ 今未知数 $m$ 今方程的线性方程组

$$ \left{\begin{array}{l} a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n=b_1 \ a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n=b_2 \ \cdots \cdots \cdots \cdots \ a_{m 1} x_1+a_{m 2} x_2+\cdots+a_ x_n=b_m \end{array}\right. $$

其中 $a_$ 是第 $i$ 今方程的第 $j$ 今未知数的系数, $b_i$ 是第 $i$ 今方程的常数项, $i=1,2, \cdots, m$; $j=1,2, \cdots n$, 当常数项 $b_1, b_2, \cdots, b_m$ 不全为零时, 线性方程组 (1) 叫做 $n$ 元非齐次线性方程组, 当 $b_1, b_2, \cdots, b_m$ 全为零时,(1)式成为

$$ \left{\begin{array}{l} a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n=0 \ a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n=0 \ \cdots \cdots \cdots \ a_{m 1} x_1+a_{m 2} x_2+\cdots+a_ x_n=0 \end{array}\right. $$

叫做 $n$ 元齐次线性方程组。将一非齐次线性方程组的常数项改为零所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出组。

二、线性方程组的消元法

  1. 方程组的解
    若向量 $x_0$ 满足方程组 $A x_0=b$ (或 $A x_0=0$ ), 称 $x_0$ 是方程组 $A x=b$ (或 $A x=0$ ) 的解。 当

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    时, 称此解为零解。
    注 零解是任意齐次线性方程 $A x=0$ 的一个解。
    1. 互换两个方程的位置;
    2. 某个方程乘以非零的常数 $k$;
    3. 将某方程的韭零 $k$ 倍加到另外一个方程上去,

    称上述变换为线性方程组的初等变换. 并且线性方程组的初等变换反映在增广矩阵中, 相当于对增广矩阵实施初等行变换。
  2. 解方程组的思想
    1. 同解方程组
      若两个方程组(I)和(II)的解完全相同,称方程组(I)和(II)为同解方程组。
      注:高斯消元法的过程所得方程组都是同解方程组,即对矩阵实施初等行变换所得方程组都是同解方程组.
    2. 求解韭齐次方程组

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      时, 主要的思想是高斯消元法, 即是对韭齐次方程组实施初等变换, 逐个消元,最终可化为可求解的形式,而这个过程就相当于对增广矩阵

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      实施初等行变换, 化为行阶梯形, 得同解方程组. 类似地, 求解齐次线性方程组

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      时, 利用初等行变换将系数矩阵

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      化为行阶梯形, 得同解方程组
  3. 线性方程组解的判定
    1. $n$ 元非齐次线性方程组 $A x=b$
      • 有唯一解

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      • 有无穷多解

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      • 无解

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三、向量的预备知识

  1. 向量的概念
    $n$ 个数 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 构成的有序数组称为 $n$ 维向量, 这 $n$ 个数称为该向量的 $n$ 个分量, 第 $i$ 个数 $a_i$ 称为第 $i$ 个分量,分量的个数称为该向量的维数。

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    为 $n$ 维行向量,

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    为 $n$ 维列向量。 由若干个同维列向量(或同维行向量)组成的集合叫做向量组。
  2. 向量的运算

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    为数, 则:
    向量的加法

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    向量的数乘

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    向量内积

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    向量正交

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    正交 (垂直)
    向量的模

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    推论

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四、向量组的线性表示

  1. 线性组合
    设向量组

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    是 $s$ 个 $n$ 维向量,

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    是 $s$ 个数, 则

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    称为向量组 $A$ 的一个线性组合。

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    称为这个线性组合的系数。
  2. 线性表示
    向量组

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    和向量

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    . 如果存在一组数

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    , 使

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    , 则向量

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    是向量组 $A$ 的线性组合, 这时称向量

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    能由向量组 $A$ 线性表示。
  3. 线性表示的充要条件
    向量

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    能由向量组

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    线性表示, 则

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    有解。

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  4. 向量组等价
    设有两个向量组

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    与向量组

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    , 若向量组 $A$ 与向量组 $B$ 能互相线性表示, 则称这两个向量组等价。

    秩相等,拼接矩阵的秩也相等。

五、向量组的线性相关性

  1. 线性相关
    设向量组

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    , 如果存在不全为零的数

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    , 使

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    , 则称向量组 $A$ 是线性相关的。
  2. 线性无关
    给定向量组

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    , 只有当

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    , 才有

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    , 则称向量组

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    是线性无关的。
  3. 线性相关性的充要条件
    1. 向量组

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      线性相关

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      有非零解

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    2. 向量组

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      线性无关

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      只有零解

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  4. 线性相关和线性表示的内在联系

定理1 若向量组中含零向量, 则向量组线性相关

定理2 $n$ 个 $n$ 维向量

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线性相关的充分必要条件

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定理3 $n+1$ 个 $n$ 维向量一定线性相关

定理4 向量组

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线性相关

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中至少有一个向量可以由其余

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个向量线性表出

定理5 若向量组

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线性相关, 则向量组

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也线性相关。反之, 若向量组

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线性无关, 则向量组

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也线性无关。

推论1 若向量组中两个向量对应元素成比例, 则向量组线性相关。

定理6 若向量组

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线性无关, 则向量组

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的延伸组

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也线性无关。

定理7 设向量组

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线性无关, 而向量组

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线性相关, 则

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必能由向量组

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线性表示, 且表法唯一。

定理8 若向量组

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可以由向量组

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线性表示, 且

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, 则

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线性相关。

推论2 若向量组

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可以由向量组

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线性表示, 且

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线性无关,则有

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六、向量组的秩

  1. 极大线性无关组
    设有向量组

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    , 如果在 $A$ 中能选出 $r$ 个向量

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    , 满足:
    1. 向量组

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      线性无关;
    2. 向量组 $A$ 中任意 $r+1$ 个向量(如果 $A$ 中有 $r+1$ 个向量的话)都线性相关。那么称向量组

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      是向量组 $A$ 的一个极大线性无关组。
  2. 向量组的秩
    向量组

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    的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩, 记作

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    。 全由零向量组成的向量组没有极大线性无关组, 它的秩规定为 0 。
    定理 矩阵的行秩等于矩阵的列秩等于矩阵的秩。
  3. 计算向量组极大无关组的步骤
    1. 将向量组作为列向量组成矩阵

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      (如果是行向量, 则取转置后再计算);
    2. 对矩阵

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      做初等行变换,化为阶梯型矩阵,阶梯型矩阵中非零行的个数即为向量组的秩;
    3. 在阶梯型矩阵中标出每个韭零行的主元(每行第一个非零元), 主元所在列即对应原向量组的一个极大线性无关组。

    【注】:向量组的极大线性无关组可能不止一个,用该方法可以找到其中的一个。

线性方程组解的结构

  1. 解的性质
    1. 如果

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      的两个解, 则当

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      时,

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      的解。
      【注】当

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      时,

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      的解。
    2. 如果

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      的两个解, 则当

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      时,

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      是 $A x=b$ 的解。
    3. 如果

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      的解,

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      的解, 则当

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      的解。
    4. 如果

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      的解, 则他们的任意线性组合

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      也是

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      的解。
  2. 齐次线性方程组
    1. 基础解系
      如果

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      满足:
      a.

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      的解
      b.

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      线性无关;
      c. 此方程组的每一个解都可由

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      线性表示
      则称

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      为此齐次线性方程组的一个基础解系
    2. 通解
      如果齐次线性方程组的一个基础解系

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      , 那么齐次线性方程组的通解(解集)为

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      .
    3. 定理
      设 $n$ 元齐次线性方程组

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      的秩

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      , 则齐次线性方程组

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      的基础解系存在, 且基础解系中含向量的个数

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    4. 基础解系的判别方法
      a.

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      的解;
      b.

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      线性无关;
      c.

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      ;

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      是齐次线性方程组

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      的一组基础解系。
    5. 基础解系的求法
      a. 利用初等行变换把齐次线性方程组的系数矩阵化为行最简形矩阵;
      b. 判断

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      ,利用

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      求得基础解系中含向量的个数。 行最简形矩阵非零行的首非零元素对应的未知量作为主变量, 其余的未知量作为自由变量。
      c. 令自由变量分别取

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      , 代入同解方程组即得基础解系。
  3. 非齐次线性方程组
    非齐次线性方程组

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    , 若

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    , 且已知

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    是导出组

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    的基础解系,

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    的某个已知解, 则

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    的通解为

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    , 其中

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    为任意常数。
继续对所向往的东西保持信念,即使现在没有,也许永远得不到。
——尼采
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