第四章 矩阵的相似化简

一、特征值与特征向量

1. 定义
   设

   Initializing MathJax...

   是

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   阶矩阵, 如果存在非零向量

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   和数

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   , 使得

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   , 则称

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   是

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   的一个特征值,

   Initializing MathJax...

   为

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   的属于特征值

   Initializing MathJax...

   的一个特征向量。
   注:

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   必须是方阵, 特征向量

   Initializing MathJax...

   一定是非零向量。
2. 计算方法
3. 性质

1. 特征向量的性质
   a. 矩阵属于同一特征值的特征向量的任意非零线性组合仍为该特征值的特征向量;
   b. 矩阵不同特征值的特征向量线性无关。
   注：矩阵属于同一特征值的特征向量的可能线性相关也可能线性无关。
2. 特征值的性质
   a. 设矩阵

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   所有的特征值为

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   (包括重数), 则有

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   。

   tr(A) 为 “迹”。迹为主对角线之和

   
   b. 设

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   , 则

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   , 进而对于任意的多项式

   Initializing MathJax...

   有

   Initializing MathJax...

   此处有表格

   
   c. 对于任意的多项式 $f(x)$, 若矩阵 $A$ 满足 $f(A)=0$, 则 $A$ 的特征值 $\lambda$ 满足

   Initializing MathJax...

   。
   注: 此性质给出了特征值的取值范围, 但无法确定特征值具体时哪些, 重复的有多少个。