Beta

第一章 函数、极限与连续

第一节 函数

一、函数的概念

二、常见函数的分类

  1. 基本初等函数 常数函数;幂函数;指数函数;对数函数;三角函数;反三角函数
  2. 复合函数
  3. 分段函数
  4. 初等函数
  5. 反函数

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  6. 隐函数
  7. 参数方程

三、常见函数的性质

  1. 有界性 ②常见的有界函数 y = C (常数), y = sin x , y = cos x , y = arcsin x , y = arccos x , y = arctan x , y = arccot x
  2. 单调性
  3. 周期性
  4. 奇偶性

第二节 函数极限

一、极限的概念

  • 无穷小:
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      =

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      =

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      = 0
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      =

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      = 0
  • 无穷大:
    • Initializing MathJax...

      =

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      =

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      =

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  • 无穷小的运算:
    • ①有限个无穷小的和仍为无穷小
    • ②有限个无穷小的积仍为无穷小
    • ③有界函数与无穷小的积仍为无穷小
  • 无穷大的运算:
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  • 无穷小和无穷大的关系:
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  • 无穷小的阶
    • α是β的高阶无穷小:

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    • 同阶无穷小(比值极限为C)、等价无穷小(比值极限为1)
  • 高阶无穷小的计算
    • 吸收率:

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      ,其中 m ≤ n
    • 叠加率:

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    • 归一率:

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      ,其中 k ≠ 0

二、函数极限的计算

1. 极限四则运算

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, 则有:

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  • Initializing MathJax...

  • Initializing MathJax...

2. 等价无穷小替换

(1) 设当

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时,

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, 则有:

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替换要求:乘除因子可替换,加减、指底数等其他因子一律不替换。

(2) 常用等价无穷小:★★★

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  • Initializing MathJax...

  • Initializing MathJax...

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广义化也成立。

3. 洛必达法则

主要处理

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这样的极限 和积分配合,有积分符号,优先想洛必达。

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  • (1)

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  • (2)

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  • (3)

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4. 重要极限

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=

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= e

  • 题型1:

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    未定式
  • 解法1:重要极限

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    =

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  • 解法2:对数恒等式(幂指函数指数化)

    对数恒等式

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    =

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    =

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    =

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    =

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第三节 数列极限

一、数列极限的概念

二、(海涅)归结原则

数列极限只是函数极限的一种特殊形式,函数极限成立,可以推出数列极限成立,反之不一定成立

三、 夹逼准则

一般很多项(无限多项)分式,不好通分的时候,使用夹逼准则

四、单调有界收敛准则

单调的有界的数列必有极限, 即若数列

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单调增加且有上界或单调减少且有下界, 则

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存在。

判断数列的有界性:

  1. 数学归纳法
  2. 结合不等式(不等式
  3. 结合题目条件

判断数列的单调性:

  1. 作差法或作商法
  2. 数学归纳法(已知递推关系)
  3. 利用导数判断单调性

第四节 极限的性质

一、 函数极限性质

函数和极限的相互转化条件

  1. 唯一性: 如果

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    存在, 则极限必唯一;
  2. (局部) 有界性: 如果

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    存在, 则

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    , 当

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    时, 有

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    ;
  3. (局部) 保号性: 如果

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    , 则

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    时, 有

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    ;
  4. 保不等式性: 如果

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    , 且

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    存在, 则

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二、 数列极限的性质

  1. 唯一性: 如果

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    存在, 则极限必唯一;
  2. (整体) 有界性: 如果

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    存在, 则数列

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    一定有界;
  3. 保号性: 如果

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    , 则

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    , 当

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    时, 有

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    ;
  4. 保不等式性: 如果

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    , 当

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    时, 有

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    , 且

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    存在, 则

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第五节 连续与间断

一、连续性

  1. 一点处连续 若

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    , 则称

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    处连续。
    极限值=函数值

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    处连续时,

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    =

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  2. 初等函数的连续性
    定理:初等函数在其定义区间内连续。 即

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    为初等函数且

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    处有定义, 则

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    处必连续。

    初等函数:非分段函数 可疑间断点:分段点、不在定义域内

  3. 单侧连续
    左连续:

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    , 右连续:

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    结论:连续 ⇔ 左连续且右连续

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  4. 区间上连续
    (1) 开区间连续
    函数

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    在开区间

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    上连续 ⇔

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    在开区间

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    上每一点都连续。
    (2) 闭区间连续
    函数

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    在闭区间

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    上连续 ⇔

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    在开区间

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    上连续且在

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    点右连续、

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    点左连续。
  5. 函数四则运算的连续性
    (1) 当

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    在点

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    连续时, 有

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    在点

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    连续。
    结论:连续+连续=连续连续×连续=连续
    (2) 当

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    在点

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    连续而

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    在点

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    间断时, 有

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    在点

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    间断、

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    在点

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    不确定。
    结论:连续+间断=间断连续×间断=间断(当

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    时); 不确定(当

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    时)
    (3) 当

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    在点

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    间断时, 有

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    在点

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    不确定。
    结论:间断+间断=不确定间断×间断=不确定;

二、函数的间断点及其类型

  1. 第一类间断点:(左右极限均存在)
    (1)可去间断点;(2)跳跃间断点
  2. 第二类间断点:(至少一侧极限不存在)
    (1)无穷间断点;(2)震荡间断点

三、闭区间上连续函数性质

  1. 最值定理(有界性)
  2. 介值定理
  3. 零点定理(根的存在性定理)
继续对所向往的东西保持信念,即使现在没有,也许永远得不到。
——尼采
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