第一章 函数、极限与连续

第一节 函数

一、函数的概念

二、常见函数的分类

1. 基本初等函数 常数函数；幂函数；指数函数；对数函数；三角函数；反三角函数
2. 复合函数
3. 分段函数
4. 初等函数
5. 反函数

   Initializing MathJax...

   ，

   Initializing MathJax...

   ，

   Initializing MathJax...

6. 隐函数
7. 参数方程

三、常见函数的性质

1. 有界性 ②常见的有界函数 y = C (常数), y = sin x , y = cos x , y = arcsin x , y = arccos x , y = arctan x , y = arccot x
2. 单调性
3. 周期性
4. 奇偶性

第二节 函数极限

一、极限的概念

• 无穷小：

  • Initializing MathJax...

    =

    Initializing MathJax...

    =

    Initializing MathJax...

    = 0

  • Initializing MathJax...

    =

    Initializing MathJax...

    = 0
• 无穷大：

  • Initializing MathJax...

    =

    Initializing MathJax...

    =

    Initializing MathJax...

    =

    Initializing MathJax...

• 无穷小的运算：
  • ①有限个无穷小的和仍为无穷小
  • ②有限个无穷小的积仍为无穷小
  • ③有界函数与无穷小的积仍为无穷小
• 无穷大的运算：

  • Initializing MathJax...

  • Initializing MathJax...

  • Initializing MathJax...

  • Initializing MathJax...

  • Initializing MathJax...

  • Initializing MathJax...

• 无穷小和无穷大的关系：

  • Initializing MathJax...

  • Initializing MathJax...

• 无穷小的阶
  • α是β的高阶无穷小：

    Initializing MathJax...

  • 同阶无穷小（比值极限为C）、等价无穷小（比值极限为1）
• 高阶无穷小的计算
  • 吸收率：

    Initializing MathJax...

    ，其中 m ≤ n
  • 叠加率：

    Initializing MathJax...

    Initializing MathJax...

  • 归一率：

    Initializing MathJax...

    ，其中 k ≠ 0

二、函数极限的计算

1. 极限四则运算

设

, 则有：

• Initializing MathJax...

• Initializing MathJax...

• Initializing MathJax...

• Initializing MathJax...

2. 等价无穷小替换

(1) 设当

时, , 则有：

• Initializing MathJax...

• Initializing MathJax...

替换要求：乘除因子可替换，加减、指底数等其他因子一律不替换。

(2) 常用等价无穷小：★★★

时

• Initializing MathJax...

• Initializing MathJax...

• Initializing MathJax...

• Initializing MathJax...

• Initializing MathJax...

• Initializing MathJax...

广义化也成立。

3. 洛必达法则

主要处理

Initializing MathJax...

这样的极限 和积分配合，有积分符号，优先想洛必达。

• （1）

  Initializing MathJax...

• （2）

  Initializing MathJax...

• （3）

  Initializing MathJax...

4. 重要极限

Initializing MathJax...

= = e

• 题型1：

  Initializing MathJax...

  未定式
• 解法1：重要极限

  Initializing MathJax...

  =

  Initializing MathJax...

• 解法2：对数恒等式（幂指函数指数化）

  对数恒等式

  Initializing MathJax...

  =

  Initializing MathJax...

  =

  Initializing MathJax...

  
  

  Initializing MathJax...

  =

  Initializing MathJax...

  =

  Initializing MathJax...

第三节 数列极限

一、数列极限的概念

二、（海涅）归结原则

数列极限只是函数极限的一种特殊形式，函数极限成立，可以推出数列极限成立，反之不一定成立

三、 夹逼准则

一般很多项（无限多项）分式，不好通分的时候，使用夹逼准则

四、单调有界收敛准则

单调的有界的数列必有极限, 即若数列

单调增加且有上界或单调减少且有下界, 则 存在。

判断数列的有界性：

1. 数学归纳法
2. 结合不等式（不等式）
3. 结合题目条件

判断数列的单调性：

1. 作差法或作商法
2. 数学归纳法（已知递推关系）
3. 利用导数判断单调性

第四节 极限的性质

一、 函数极限性质

函数和极限的相互转化条件

1. 唯一性: 如果

   Initializing MathJax...

   存在, 则极限必唯一;
2. (局部) 有界性: 如果

   Initializing MathJax...

   存在, 则

   Initializing MathJax...

   , 当

   Initializing MathJax...

   时, 有

   Initializing MathJax...

   ;
3. (局部) 保号性: 如果

   Initializing MathJax...

   , 则

   Initializing MathJax...

   时, 有

   Initializing MathJax...

   ;
4. 保不等式性: 如果

   Initializing MathJax...

   , 且

   Initializing MathJax...

   存在, 则

   Initializing MathJax...

二、 数列极限的性质

1. 唯一性: 如果

   Initializing MathJax...

   存在, 则极限必唯一;
2. (整体) 有界性: 如果

   Initializing MathJax...

   存在, 则数列

   Initializing MathJax...

   一定有界;
3. 保号性: 如果

   Initializing MathJax...

   , 则

   Initializing MathJax...

   , 当

   Initializing MathJax...

   时, 有

   Initializing MathJax...

   ;
4. 保不等式性: 如果

   Initializing MathJax...

   , 当

   Initializing MathJax...

   时, 有

   Initializing MathJax...

   , 且

   Initializing MathJax...

   存在, 则

   Initializing MathJax...

   。

第五节 连续与间断

一、连续性

1. 一点处连续 若

   Initializing MathJax...

   , 则称

   Initializing MathJax...

   在

   Initializing MathJax...

   处连续。
   极限值=函数值
   当

   Initializing MathJax...

   在

   Initializing MathJax...

   处连续时,

   Initializing MathJax...

   =

   Initializing MathJax...

   Initializing MathJax...

2. 初等函数的连续性
   定理：初等函数在其定义区间内连续。 即

   Initializing MathJax...

   为初等函数且

   Initializing MathJax...

   处有定义, 则

   Initializing MathJax...

   处必连续。

   初等函数：非分段函数 可疑间断点：分段点、不在定义域内

3. 单侧连续
   左连续:

   Initializing MathJax...

   , 右连续:

   Initializing MathJax...

   
   结论：连续 ⇔ 左连续且右连续
   即

   Initializing MathJax...

   ⇔

   Initializing MathJax...

4. 区间上连续
   (1) 开区间连续
   函数

   Initializing MathJax...

   在开区间

   Initializing MathJax...

   上连续 ⇔

   Initializing MathJax...

   在开区间

   Initializing MathJax...

   上每一点都连续。
   (2) 闭区间连续
   函数

   Initializing MathJax...

   在闭区间

   Initializing MathJax...

   上连续 ⇔

   Initializing MathJax...

   在开区间

   Initializing MathJax...

   上连续且在

   Initializing MathJax...

   点右连续、

   Initializing MathJax...

   点左连续。
5. 函数四则运算的连续性
   (1) 当

   Initializing MathJax...

   、

   Initializing MathJax...

   在点

   Initializing MathJax...

   连续时, 有

   Initializing MathJax...

   、

   Initializing MathJax...

   在点

   Initializing MathJax...

   连续。
   结论：连续+连续=连续； 连续×连续=连续；
   (2) 当

   Initializing MathJax...

   在点

   Initializing MathJax...

   连续而

   Initializing MathJax...

   在点

   Initializing MathJax...

   间断时, 有

   Initializing MathJax...

   在点

   Initializing MathJax...

   间断、

   Initializing MathJax...

   在点

   Initializing MathJax...

   不确定。
   结论：连续+间断=间断；连续×间断=间断（当

   Initializing MathJax...

   时）； 不确定（当

   Initializing MathJax...

   时）
   (3) 当

   Initializing MathJax...

   、

   Initializing MathJax...

   在点

   Initializing MathJax...

   间断时, 有

   Initializing MathJax...

   、

   Initializing MathJax...

   在点

   Initializing MathJax...

   不确定。
   结论：间断+间断=不确定； 间断×间断=不确定;

二、函数的间断点及其类型

1. 第一类间断点：（左右极限均存在）
   （1）可去间断点；（2）跳跃间断点
2. 第二类间断点：（至少一侧极限不存在）
   （1）无穷间断点；（2）震荡间断点

三、闭区间上连续函数性质

1. 最值定理（有界性）
2. 介值定理
3. 零点定理（根的存在性定理）