第二章 一元函数微分学

第一节 导数的概念

一、 导数的定义

1. 一点处导数定义

   瞬时变化率，本质是极限

   
   函数

   Initializing MathJax...

   在

   Initializing MathJax...

   处有自变量增量

   Initializing MathJax...

   ,
   函数值增量

   Initializing MathJax...

   
   若极限

   Initializing MathJax...

   存在, 则称

   Initializing MathJax...

   在

   Initializing MathJax...

   处可导, 称该极限值为

   Initializing MathJax...

   处导数（又称微商）, 记为

   Initializing MathJax...

   
   

   Initializing MathJax...

   =

   Initializing MathJax...

   =

   Initializing MathJax...

   =

   Initializing MathJax...

2. 导数意义
   （1）几何意义：切线斜率
   （2）物理意义：一个量关于另外一个量的变化率

   Initializing MathJax...

   Initializing MathJax...

   Initializing MathJax...

3. 可导与连续

   可导→连续；连续不一定可导；

   
   设函数

   Initializing MathJax...

   在点

   Initializing MathJax...

   的某邻域内有定义, 如果

   Initializing MathJax...

   在点

   Initializing MathJax...

   处可导, 那么

   Initializing MathJax...

   在点

   Initializing MathJax...

   处必然连续。

二、 单侧导数

1. 左导数

   Initializing MathJax...

   ,
   右导数

   Initializing MathJax...

2. 结论: 可导 (导数存在) ⇔ 左右导数存在且相等
   

   Initializing MathJax...

   ⇔

   Initializing MathJax...

三、 高阶导数

的一阶导函数的 导函数称的二阶导函数, 记为 =

类似的, 二阶导函数的导函数称为三阶导函数,

阶导函数的导函数称为 阶导函数, 分别记为

； ；…

Initializing MathJax...

，是二阶微分

Initializing MathJax...

，是一阶微分的平方

四、 微分

1. 可微、微分定义
   函数

   Initializing MathJax...

   在

   Initializing MathJax...

   处有自变量增量

   Initializing MathJax...

   , 函数值增量

   Initializing MathJax...

   。 若存在不依赖于

   Initializing MathJax...

   只依赖于

   Initializing MathJax...

   的常数

   Initializing MathJax...

   使得

   Initializing MathJax...

   成立, 那么称函数

   Initializing MathJax...

   在点

   Initializing MathJax...

   处可微, 记

   Initializing MathJax...

   为

   Initializing MathJax...

   处微分（线性主部）

   导数研究的是

   Initializing MathJax...

   ，是变化率

   微分研究的是

   Initializing MathJax...

   的构成（

   Initializing MathJax...

   ，dy即线性主部

   可微 ⇔ 可导

2. 微分的几何意义
   当

   Initializing MathJax...

   是曲线

   Initializing MathJax...

   的点的纵坐标的增量时,

   Initializing MathJax...

   就是曲线的切线上点纵坐标的相应增量。

   Initializing MathJax...

   以直代曲

第二节 导数的计算

一、基本求导公式

• Initializing MathJax...

• Initializing MathJax...

• Initializing MathJax...

• Initializing MathJax...

• Initializing MathJax...

可以通过导数定义公式，一步步推导出来。能记住最好。

二、导数的四则运算

设函数

, 均可导, 那么有：

• Initializing MathJax...

• Initializing MathJax...

• Initializing MathJax...

三、复合函数求导：链式法则

设

, 如果 在 处可导, 且 在对应的 处可导, 则复合函数 在 处可导, 且有

• Initializing MathJax...

• Initializing MathJax...

像剥卷心菜一样，逐层求导

四、反函数求导法则

设函数

可导且 ， 并令其反函数为 ，则

• Initializing MathJax...

• Initializing MathJax...

五、参数方程的导数

设

的参数方程为

1. 一阶导

   Initializing MathJax...

2. 二阶导
   

   Initializing MathJax...

   =

   Initializing MathJax...

六、隐函数的导数

若隐函数

由方程 确定，

一阶导：将 y 视作 x 函数，对方程

两边关于x求导，整理 （含有x,y）

二阶导：对方程

两边关于x求两次导，整理 （含有x,y, ）

注: 求隐函数在定点

处导数时, 求导后可先带入 后再整理。

如果遇到对

Initializing MathJax...

求导，相当于y对x的复合函数求导，即2yy'

七、高阶导数的计算

1. 常用函数高阶导数公式

   原函数	高阶导数
   Initializing MathJax...	Initializing MathJax...
   Initializing MathJax...	Initializing MathJax...
   Initializing MathJax...	Initializing MathJax...
   Initializing MathJax...	Initializing MathJax...
   Initializing MathJax...	Initializing MathJax...
   Initializing MathJax...	Initializing MathJax...
   Initializing MathJax...	Initializing MathJax...

   考核形式主要借助高阶导，或莱布尼茨公式

2. 莱布尼茨公式

设

, 均有 n 阶导数, 则有:

一般是幂函数×函数形式，这样只有展开有限项就能得到结果

八、曲率

1. 曲率

   公式要记住

   
   曲线

   Initializing MathJax...

   在点

   Initializing MathJax...

   处的曲率为

   Initializing MathJax...

   
   对于参数方程

   Initializing MathJax...

   ， 相应的公式为：

   Initializing MathJax...

2. 曲率半径:

   Initializing MathJax...

3. 曲率圆： 在

   Initializing MathJax...

   点的法线上取曲线凹向一侧的一点

   Initializing MathJax...

   , 使得

   Initializing MathJax...

   , 则以点

   Initializing MathJax...

   为圆心,

   Initializing MathJax...

   为半径的圆称之为曲线在点

   Initializing MathJax...

   处的曲率圆.

九、幂指函数的导数（了解即可）

形如

的函数称为幂指函数, 处理方法是对数恒等变形, 于是

=

第三节 导数的应用

一、单调性

1. 定义
   若

   Initializing MathJax...

   有

   Initializing MathJax...

   , 称

   Initializing MathJax...

   为单调增函数;
   若

   Initializing MathJax...

   有

   Initializing MathJax...

   , 称

   Initializing MathJax...

   为单调减函数;
2. 判定
   若

   Initializing MathJax...

   在 D 上可导且

   Initializing MathJax...

   且

   Initializing MathJax...

   不恒为

   Initializing MathJax...

   在 D 上为增函数;
   若

   Initializing MathJax...

   在 D 上可导且

   Initializing MathJax...

   且

   Initializing MathJax...

   不恒为

   Initializing MathJax...

   在 D 上为减函数;
3. 单调区间计算
   （1）令

   Initializing MathJax...

   , 计算稳定点 (驻点) ; 观察不可导点
   （2）用稳定点、不可导点对定义域

   Initializing MathJax...

   分段, 逐段判断

二、极值点

1. 定义：
   函数

   Initializing MathJax...

   在

   Initializing MathJax...

   内有定义,

   Initializing MathJax...

   有

   Initializing MathJax...

   
   注：
   • 内部
   • 局部：极值不说明最值，内部的最值是极值
   • 极值点处对f(x)无连续与可导要求
   • 极大值：f(x)；极大值点：

     Initializing MathJax...

     ；意义不一样
2. 必要条件（费马引理）

   讨论极值点和驻点的关系

   
   可导的极值点一定是稳定点（驻点）;
   若

   Initializing MathJax...

   存在

   Initializing MathJax...

   为极值点, 则必有

   Initializing MathJax...

   
   注:
   • (1) 稳定点未必是极值点, 即

     Initializing MathJax...

     得不到

     Initializing MathJax...

     为极值点
   • (2) 若

     Initializing MathJax...

     存在但

     Initializing MathJax...

     必不是极值点
3. 第一充分条件
   条件:

   Initializing MathJax...

   处连续, 且

   Initializing MathJax...

   在

   Initializing MathJax...

   内可导
   结论:
   (1)

   Initializing MathJax...

   上

   Initializing MathJax...

   上

   Initializing MathJax...

   为极大值
   (2)

   Initializing MathJax...

   上

   Initializing MathJax...

   上

   Initializing MathJax...

   为极小值
   (3)

   Initializing MathJax...

   上

   Initializing MathJax...

   保号（符号不变）,

   Initializing MathJax...

   非极值
4. 第二充分条件

   隐函数、参数方程一般用这条来判断（直接判断不好判断）

   
   条件:

   Initializing MathJax...

   是稳定点即

   Initializing MathJax...

   且

   Initializing MathJax...

   存在
   结论:
   (1)

   Initializing MathJax...

   时

   Initializing MathJax...

   为极大值
   (2)

   Initializing MathJax...

   时

   Initializing MathJax...

   为极小值
   (3)

   Initializing MathJax...

   时

   Initializing MathJax...

   不确定

   Initializing MathJax...

   是否为极值
5. 可疑极值点
   • 极值点
     • 稳定点（驻点）
       • 第一充分：看两边
       • 第二充分：看该点
     • 不可导点
       • 连续：第一充分
       • 不连续：定义

三、连续函数闭区间最值的计算

略

四、凹凸性

略

五、曲线的渐近线

1. 垂直渐近线
2. 水平渐近线
3. 斜渐近线

六、切、法线方程

1. 点

   Initializing MathJax...

   处切线方程

   Initializing MathJax...

2. 点

   Initializing MathJax...

   处法线方程

   Initializing MathJax...

特别的, 当

时, 切线方程为 , 法线方程为 。

注: 若求过曲线外一点处的切法线方程, 先设切点

, 计算出切法线方程后过该曲线外一点。

七、拐点

连续函数凹凸区间的分界点。（拐点两侧的凹凸不同）

1. 定义
   

   Initializing MathJax...

   在

   Initializing MathJax...

   上连续,

   Initializing MathJax...

   在

   Initializing MathJax...

   上凹凸性不同, 称

   Initializing MathJax...

   为曲线

   Initializing MathJax...

   的拐点。
   注: 拐点要求该点连续; 拐点是二维坐标形式

   拐点就是导函数的极值点（不全是，还要去判断）

5. 可疑拐点
   • 拐点
     • 二阶导零点
       • 第一充分：看两边
       • 第二充分：看该点
     • 二阶不可导点
       • 连续：第一充分
       • 不连续：非拐点

习题：

提到了

， ， 。这一条结论待学习研究为什么。

第四节 单调性以及凹凸性的考察

（都是习题，略）

第五节 中值定理

一、罗尔定理

若

满足:

1. 在闭区间

   Initializing MathJax...

   上连续;
2. 在开区间

   Initializing MathJax...

   内可导;

3. Initializing MathJax...

   ,

则在开区间

内至少存在一点 , 使得

几何意义：

处存在水平切线。

二、拉格朗日中值定理

若

满足:

1. 在闭区间

   Initializing MathJax...

   上连续;
2. 在开区间

   Initializing MathJax...

   内可导,

则在开区间

内至少存在一点 , 使得 。

三、泰勒公式

泰勒公式：设函数

在点 处有直至 阶导数, 则当 时有:

在

处的泰勒公式又称为麦克劳林公式.

常见函数的麦克劳林公式:

Initializing MathJax...	Initializing MathJax...
Initializing MathJax...	Initializing MathJax...
Initializing MathJax...	Initializing MathJax...
Initializing MathJax...	Initializing MathJax...

泰勒展开的一般原则：

1. 上下同阶
2. 多退少补（上下不定阶，则保证有x的最低阶数）