第三章 不定积分

一、基本概念与性质

1. 定义
   原函数: 对

   Initializing MathJax...

   , 若

   Initializing MathJax...

   , 则称函数

   Initializing MathJax...

   是

   Initializing MathJax...

   在 I 上的一个原函数
   不定积分: 原函数不唯一, 原函数集合称不定积分, 记为

   Initializing MathJax...

   
   不定积分中, x 称积分变量,

   Initializing MathJax...

   称被积函数
2. 记法

   • Initializing MathJax...

   • Initializing MathJax...

   • Initializing MathJax...

3. 线性性（一次）
   

   Initializing MathJax...

   =

   Initializing MathJax...

   
   (

   Initializing MathJax...

   与

   Initializing MathJax...

   均不为 0)

二、基本方法

1. 基本积分公式

   • Initializing MathJax...

   • Initializing MathJax...

   • Initializing MathJax...

   • Initializing MathJax...

   • Initializing MathJax...

   • Initializing MathJax...

2. 换元法
   1. 第一类换元法（凑微分）

      Initializing MathJax...

      
      （令

      Initializing MathJax...

      ） =

      Initializing MathJax...

      
      （若

      Initializing MathJax...

      ） =

      Initializing MathJax...

      
      =

      Initializing MathJax...

      
      注:
      • （1）

        Initializing MathJax...

        称凑微分
      • （2） 实际积分时常视

        Initializing MathJax...

        为一个整体, 可不写出换元过程
      • （3）凑微分优先顺序：反、对、幂、三、指
   2. 第二类换元法

      被积函数中出现根号，优先考虑第二类换元法 出现平方差开跟、平方和开跟，考虑令x=sint或x=tant/sect，注意单调区间

      
      

      Initializing MathJax...

      =

      Initializing MathJax...

      (令

      Initializing MathJax...

      ，一定是单调函数)
      =

      Initializing MathJax...

      
      =

      Initializing MathJax...

      （若

      Initializing MathJax...

      ）
      =

      Initializing MathJax...

      
      注: 换元法积分需要还原成原始变量的函数, 特别在第二类换元法中,

      Initializing MathJax...

      需要有反函数

      Initializing MathJax...

   3. 分部积分法

      Initializing MathJax...

      适用范围：不同类型函数相乘

      v'——易积分；u——易求导（反对幂指三）

有理函数积分方法：

• 真分式：分子次数<分母次数（拆）
• 假分式：分子次数>=分母次数

第一节 定积分

一、定义

,

若该极限存在且极限值与

上分割方式及 选取无关, 称 在 上可积。 该极限值记为 , 称 在 上的定积分, 其中 称积分区间, 分别称为积分上下限。

几何意义:

围成的曲边梯形的代数面积 所谓代数面积是指 x 轴上方视为正面积, x 轴下方视为负面积

曲边梯形面积的代数和

微元法：①分割；②近似；③求和；④取极限；

二、定积分性质

1. 规定

   1. Initializing MathJax...

   2. Initializing MathJax...

      , 特例:

      Initializing MathJax...

2. 线性性质

   1. Initializing MathJax...

      ,

   2. Initializing MathJax...

      为常数。
3. 常数定积分

   Initializing MathJax...

4. 积分区间可加性

   Initializing MathJax...

5. 比较定理
   如果在区间

   Initializing MathJax...

   上恒有

   Initializing MathJax...

   , 则有

   Initializing MathJax...

   ;
   推论:
   1. 如果在区间

      Initializing MathJax...

      上恒有

      Initializing MathJax...

      , 则有

      Initializing MathJax...

   2. Initializing MathJax...

      ;
   3. 估值定理: 设

      Initializing MathJax...

      和

      Initializing MathJax...

      是函数

      Initializing MathJax...

      在区间

      Initializing MathJax...

      上的最大值与最小值, 则有:

      Initializing MathJax...

   4. 积分中值定理:
      设函数

      Initializing MathJax...

      在区间

      Initializing MathJax...

      上连续, 则至少存在一点

      Initializing MathJax...

      , 使得：

      Initializing MathJax...

      Initializing MathJax...

      称为

      Initializing MathJax...

      在

      Initializing MathJax...

      上的平均值

习题：

1. 如果积分区间对称，偶函数加倍，奇函数为0.

三、定积分的计算

1. 牛顿——莱布尼兹（N-L）公式
   设

   Initializing MathJax...

   在区间

   Initializing MathJax...

   上连续,

   Initializing MathJax...

   是

   Initializing MathJax...

   在区间

   Initializing MathJax...

   上的一个原函数,

   Initializing MathJax...

2. 换元积分法
   设函数

   Initializing MathJax...

   在区间

   Initializing MathJax...

   上连续, 函数

   Initializing MathJax...

   满足条件:

   1. Initializing MathJax...

   2. Initializing MathJax...

      在区间

      Initializing MathJax...

      上具有连续导数, 其值域

      Initializing MathJax...

      ,
   
   则有:

   Initializing MathJax...

   .

   换元要换限，换限要对应

3. 分部积分法

   Initializing MathJax...

例题：

华里士公式：(点火公式)

当n为奇数时，=

当n为偶数时，=

四、变限积分

1. 定义
   设函数

   Initializing MathJax...

   在区间

   Initializing MathJax...

   上可积, 则称

   Initializing MathJax...

   为变上限积分（积分上限函数）。
2. 变上限积分的导数
   定理:如果函数

   Initializing MathJax...

   在区间

   Initializing MathJax...

   上连续, 则变上限积分

   Initializing MathJax...

   在

   Initializing MathJax...

   上可导, 且

   Initializing MathJax...

   .

   Initializing MathJax...

   连续 →

   Initializing MathJax...

   可导.

   Initializing MathJax...

   Initializing MathJax...

   连续 →

   Initializing MathJax...

   为

   Initializing MathJax...

   的一个原函数

3. 变限积分求导公式

   1. Initializing MathJax...

      ;

   2. Initializing MathJax...

      ;

   3. Initializing MathJax...

      ;

   4. Initializing MathJax...

      =

      Initializing MathJax...

      。 ★★★

被积函数含变限积分时，则将其当作分部积分中的u

对谁求导，则变限积分被积函数中不能有谁出现

五、定积分计算的特殊技巧

1. 三角函数定积分系列公式

   1. Initializing MathJax...

   2. Initializing MathJax...

   3. Initializing MathJax...

   4. 华莱士公式

      Initializing MathJax...

   
   解题思路：积分再现
2. 对称区间积分
   1. 若

      Initializing MathJax...

      为奇函数, 则

      Initializing MathJax...

   2. 若

      Initializing MathJax...

      为偶函数, 则

      Initializing MathJax...

   3. 结论:

      Initializing MathJax...

3. 周期函数积分

设

是以 为周期的连续函数, 则

1. 平移周期个单位

   Initializing MathJax...

   Initializing MathJax...

2. 积分区间长度为周期个函数

   Initializing MathJax...

   Initializing MathJax...

第二节 反常积分

一、无穷限反常积分

对任意的

, 若 在 上可积, 称 为无穷限积分。

当

存在时, 称 收敛, 记 ;

当

不存在时, 称 发散。

类似可定义:

二、瑕积分

若对任意的

, 若 在 上可积, 且任意 内 无界（可理解为 ), 称 为瑕积分 (又称无界函数积分), 称 为该瑕积分的瑕点。

当

存在时, 称 收敛, 记 ;

当

不存在时, 称 发散。

类似可定义：当

为瑕点时， 。

一般分母为0的点为瑕点

三、混合型反常积分

1. Initializing MathJax...

   收敛

   Initializing MathJax...

   均收敛;
   此时,

   Initializing MathJax...

2. Initializing MathJax...

   收敛 (

   Initializing MathJax...

   为瑕点)

   Initializing MathJax...

   均收敛;
   此时,

   Initializing MathJax...

3. Initializing MathJax...

   收敛

   Initializing MathJax...

   为服点)

   Initializing MathJax...

   均收敛;
   此时,

   Initializing MathJax...

4. Initializing MathJax...

   收敛 (

   Initializing MathJax...

   为瑕点)

   Initializing MathJax...

   均收敛;
   此时,

   Initializing MathJax...

   
   注: 原则上判断反常积分的敛散性只能积分上下限的一侧反常, 或为无穷限或为㻓点, 且积分区间中不能再有㻓点。

四、常用反常积分

1. Initializing MathJax...

   积分

   Initializing MathJax...

   Initializing MathJax...

   
   (当

   Initializing MathJax...

   时,

   Initializing MathJax...

   为定积分)
2. 泊松积分:

   Initializing MathJax...

3. 伽马函数：

   Initializing MathJax...

五、比较判别法及其极限形式

以无穷区间上的反常积分为例

1. 比较判别法
   设

   Initializing MathJax...

   在

   Initializing MathJax...

   上连续, 且

   Initializing MathJax...

   , 则:
   若

   Initializing MathJax...

   收敛

   Initializing MathJax...

   收敛;
   若

   Initializing MathJax...

   发散

   Initializing MathJax...

   发散。
   注:
   • （1）大收则小收，小发则大发;
   • (2) 比较函数一般选取

     Initializing MathJax...

     。
2. 极限形式

设

在 上连续, 且 , 则:

注:

• （1）若

  Initializing MathJax...

  时,

  Initializing MathJax...

  , 则

  Initializing MathJax...

  与

  Initializing MathJax...

  同敛散;
• (2) 瑕积分的敛散性判别与无穷区间反常积分类似。

第三节 定积分的应用