Beta

第三章 不定积分

一、基本概念与性质

  1. 定义
    原函数: 对

    Initializing MathJax...

    , 若

    Initializing MathJax...

    , 则称函数

    Initializing MathJax...

    Initializing MathJax...

    在 I 上的一个原函数
    不定积分: 原函数不唯一, 原函数集合称不定积分, 记为

    Initializing MathJax...


    不定积分中, x 称积分变量,

    Initializing MathJax...

    被积函数
  2. 记法
    • Initializing MathJax...

    • Initializing MathJax...

    • Initializing MathJax...

  3. 线性性(一次)

    Initializing MathJax...

    =

    Initializing MathJax...


    (

    Initializing MathJax...

    Initializing MathJax...

    均不为 0)

二、基本方法

  1. 基本积分公式
    • Initializing MathJax...

    • Initializing MathJax...

    • Initializing MathJax...

    • Initializing MathJax...

    • Initializing MathJax...

    • Initializing MathJax...

  2. 换元法
    1. 第一类换元法(凑微分)

      Initializing MathJax...


      (令

      Initializing MathJax...

      ) =

      Initializing MathJax...


      (若

      Initializing MathJax...

      ) =

      Initializing MathJax...


      =

      Initializing MathJax...


      注:
      • (1)

        Initializing MathJax...

        称凑微分
      • (2) 实际积分时常视

        Initializing MathJax...

        为一个整体, 可不写出换元过程
      • (3)凑微分优先顺序:反、对、幂、三、指
    2. 第二类换元法

      被积函数中出现根号,优先考虑第二类换元法 出现平方差开跟、平方和开跟,考虑令x=sint或x=tant/sect,注意单调区间


      Initializing MathJax...

      =

      Initializing MathJax...

      (令

      Initializing MathJax...

      ,一定是单调函数)
      =

      Initializing MathJax...


      =

      Initializing MathJax...

      (若

      Initializing MathJax...


      =

      Initializing MathJax...


      注: 换元法积分需要还原成原始变量的函数, 特别在第二类换元法中,

      Initializing MathJax...

      需要有反函数

      Initializing MathJax...

    3. 分部积分法

      Initializing MathJax...

      适用范围:不同类型函数相乘

      v'——易积分;u——易求导(反对幂指三)

有理函数积分方法:

  • 真分式:分子次数<分母次数(拆)
  • 假分式:分子次数>=分母次数

第一节 定积分

一、定义

Initializing MathJax...

,

Initializing MathJax...

若该极限存在且极限值与

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上分割方式及

Initializing MathJax...

选取无关, 称

Initializing MathJax...

Initializing MathJax...

上可积。 该极限值记为

Initializing MathJax...

, 称

Initializing MathJax...

Initializing MathJax...

上的定积分, 其中

Initializing MathJax...

称积分区间,

Initializing MathJax...

分别称为积分上下限。

几何意义:

Initializing MathJax...

围成的曲边梯形的代数面积 所谓代数面积是指 x 轴上方视为正面积, x 轴下方视为负面积

曲边梯形面积的代数和

微元法:①分割;②近似;③求和;④取极限;

二、定积分性质

  1. 规定
    1. Initializing MathJax...

    2. Initializing MathJax...

      , 特例:

      Initializing MathJax...

  2. 线性性质
    1. Initializing MathJax...

      ,
    2. Initializing MathJax...

      为常数。
  3. 常数定积分

    Initializing MathJax...

  4. 积分区间可加性

    Initializing MathJax...

  5. 比较定理
    如果在区间

    Initializing MathJax...

    上恒有

    Initializing MathJax...

    , 则有

    Initializing MathJax...

    ;
    推论:
    1. 如果在区间

      Initializing MathJax...

      上恒有

      Initializing MathJax...

      , 则有

      Initializing MathJax...

    2. Initializing MathJax...

      ;
    3. 估值定理: 设

      Initializing MathJax...

      Initializing MathJax...

      是函数

      Initializing MathJax...

      在区间

      Initializing MathJax...

      上的最大值与最小值, 则有:

      Initializing MathJax...

    4. 积分中值定理:
      设函数

      Initializing MathJax...

      在区间

      Initializing MathJax...

      上连续, 则至少存在一点

      Initializing MathJax...

      , 使得:

      Initializing MathJax...

      Initializing MathJax...

      称为

      Initializing MathJax...

      Initializing MathJax...

      上的平均值

习题:

  1. 如果积分区间对称,偶函数加倍,奇函数为0.

三、定积分的计算

  1. 牛顿——莱布尼兹(N-L)公式

    Initializing MathJax...

    在区间

    Initializing MathJax...

    上连续,

    Initializing MathJax...

    Initializing MathJax...

    在区间

    Initializing MathJax...

    上的一个原函数,

    Initializing MathJax...

  2. 换元积分法
    设函数

    Initializing MathJax...

    在区间

    Initializing MathJax...

    上连续, 函数

    Initializing MathJax...

    满足条件:
    1. Initializing MathJax...

    2. Initializing MathJax...

      在区间

      Initializing MathJax...

      上具有连续导数, 其值域

      Initializing MathJax...

      ,

    则有:

    Initializing MathJax...

    .

    换元要换限,换限要对应

  3. 分部积分法

    Initializing MathJax...

例题:

华里士公式:(点火公式)

Initializing MathJax...

当n为奇数时,=

Initializing MathJax...

当n为偶数时,=

Initializing MathJax...

四、变限积分

  1. 定义
    设函数

    Initializing MathJax...

    在区间

    Initializing MathJax...

    上可积, 则称

    Initializing MathJax...

    为变上限积分(积分上限函数)。
  2. 变上限积分的导数
    定理:如果函数

    Initializing MathJax...

    在区间

    Initializing MathJax...

    上连续, 则变上限积分

    Initializing MathJax...

    Initializing MathJax...

    上可导, 且

    Initializing MathJax...

    .

    Initializing MathJax...

    连续 →

    Initializing MathJax...

    可导.

    Initializing MathJax...

    Initializing MathJax...

    连续 →

    Initializing MathJax...

    Initializing MathJax...

    的一个原函数

  3. 变限积分求导公式
    1. Initializing MathJax...

      ;
    2. Initializing MathJax...

      ;
    3. Initializing MathJax...

      ;
    4. Initializing MathJax...

      =

      Initializing MathJax...

      。 ★★★

被积函数含变限积分时,则将其当作分部积分中的u

对谁求导,则变限积分被积函数中不能有谁出现

五、定积分计算的特殊技巧

  1. 三角函数定积分系列公式
    1. Initializing MathJax...

    2. Initializing MathJax...

    3. Initializing MathJax...

    4. 华莱士公式

      Initializing MathJax...


    解题思路:积分再现
  2. 对称区间积分
    1. Initializing MathJax...

      为奇函数, 则

      Initializing MathJax...

    2. Initializing MathJax...

      为偶函数, 则

      Initializing MathJax...

    3. 结论:

      Initializing MathJax...

  3. 周期函数积分

Initializing MathJax...

是以

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为周期的连续函数, 则

  1. 平移周期个单位

    Initializing MathJax...

    Initializing MathJax...

  2. 积分区间长度为周期个函数

    Initializing MathJax...

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第二节 反常积分

一、无穷限反常积分

对任意的

Initializing MathJax...

, 若

Initializing MathJax...

Initializing MathJax...

上可积, 称

Initializing MathJax...

为无穷限积分。

Initializing MathJax...

存在时, 称

Initializing MathJax...

收敛, 记

Initializing MathJax...

;

Initializing MathJax...

不存在时, 称

Initializing MathJax...

发散。

类似可定义:

Initializing MathJax...

二、瑕积分

若对任意的

Initializing MathJax...

, 若

Initializing MathJax...

Initializing MathJax...

上可积, 且任意

Initializing MathJax...

Initializing MathJax...

无界(可理解为

Initializing MathJax...

), 称

Initializing MathJax...

瑕积分 (又称无界函数积分), 称

Initializing MathJax...

为该瑕积分的瑕点

Initializing MathJax...

存在时, 称

Initializing MathJax...

收敛, 记

Initializing MathJax...

;

Initializing MathJax...

不存在时, 称

Initializing MathJax...

发散。

类似可定义:当

Initializing MathJax...

为瑕点时,

Initializing MathJax...

一般分母为0的点为瑕点

三、混合型反常积分

  1. Initializing MathJax...

    收敛

    Initializing MathJax...

    均收敛;
    此时,

    Initializing MathJax...

  2. Initializing MathJax...

    收敛 (

    Initializing MathJax...

    为瑕点)

    Initializing MathJax...

    均收敛;
    此时,

    Initializing MathJax...

  3. Initializing MathJax...

    收敛

    Initializing MathJax...

    为服点)

    Initializing MathJax...

    均收敛;
    此时,

    Initializing MathJax...

  4. Initializing MathJax...

    收敛 (

    Initializing MathJax...

    为瑕点)

    Initializing MathJax...

    均收敛;
    此时,

    Initializing MathJax...


    注: 原则上判断反常积分的敛散性只能积分上下限的一侧反常, 或为无穷限或为㻓点, 且积分区间中不能再有㻓点。

四、常用反常积分

  1. Initializing MathJax...

    积分

    Initializing MathJax...

    Initializing MathJax...


    (当

    Initializing MathJax...

    时,

    Initializing MathJax...

    为定积分)
  2. 泊松积分:

    Initializing MathJax...

  3. 伽马函数:

    Initializing MathJax...

五、比较判别法及其极限形式

以无穷区间上的反常积分为例

  1. 比较判别法

    Initializing MathJax...

    Initializing MathJax...

    上连续, 且

    Initializing MathJax...

    , 则:

    Initializing MathJax...

    收敛

    Initializing MathJax...

    收敛;

    Initializing MathJax...

    发散

    Initializing MathJax...

    发散。
    注:
    • (1)大收则小收,小发则大发;
    • (2) 比较函数一般选取

      Initializing MathJax...

  2. 极限形式

Initializing MathJax...

Initializing MathJax...

上连续, 且

Initializing MathJax...

, 则:

Initializing MathJax...

注:

  • (1)若

    Initializing MathJax...

    时,

    Initializing MathJax...

    , 则

    Initializing MathJax...

    Initializing MathJax...

    同敛散;
  • (2) 瑕积分的敛散性判别与无穷区间反常积分类似。

第三节 定积分的应用

继续对所向往的东西保持信念,即使现在没有,也许永远得不到。
——尼采
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