第六章 多元函数微分学

第一节 多元函数微分学概念

一、多元函数定义

1. 定义
   设

   Initializing MathJax...

   是平面上的一个点集, 如果对每一个点

   Initializing MathJax...

   , 变量

   Initializing MathJax...

   按照一定法则总有确定的值和它对应, 则称

   Initializing MathJax...

   是变量

   Initializing MathJax...

   的二元函数, 记为

   Initializing MathJax...

   , 其中点集

   Initializing MathJax...

   称为函数的定义域,

   Initializing MathJax...

   称为自变量,

   Initializing MathJax...

   称为因变量, 数集

   Initializing MathJax...

   称为函数的 值域。
   类似可定义

   Initializing MathJax...

   元函数。
2. 几何意义
   二元函数

   Initializing MathJax...

   表示空间的曲面

二、二重极限及连续

1. 定义
   设

   Initializing MathJax...

   在

   Initializing MathJax...

   的某去心邻域有定义, 若对任意

   Initializing MathJax...

   , 存在

   Initializing MathJax...

   , 使得当

   Initializing MathJax...

   时, 有

   Initializing MathJax...

   , 则称

   Initializing MathJax...

   为函数

   Initializing MathJax...

   当

   Initializing MathJax...

   时的极限, 记为

   Initializing MathJax...

   .
   即

   Initializing MathJax...

   , 当

   Initializing MathJax...

   , 则

   Initializing MathJax...

   。
2. 二元函数连续
   若

   Initializing MathJax...

   是函数

   Initializing MathJax...

   的定义域

   Initializing MathJax...

   的内点, 若

   Initializing MathJax...

   , 则称函数

   Initializing MathJax...

   在点

   Initializing MathJax...

   连续。

解法： 特殊路径法：求二重极限，分子次数和分母次数相等，99%极限不存在。（此方法只可用于证明极限不存在，不能证明极限存在）

二重极限： 一元方法、夹逼、无穷小×有界量

三、偏导数

1. 一点处
   设函数

   Initializing MathJax...

   在点

   Initializing MathJax...

   的某邻域内有定义, 如果

   Initializing MathJax...

   存在, 则称此极限为函数

   Initializing MathJax...

   在点

   Initializing MathJax...

   处对

   Initializing MathJax...

   的偏导数, 记为

   Initializing MathJax...

   或

   Initializing MathJax...

   。
   类似地，函数

   Initializing MathJax...

   在点

   Initializing MathJax...

   处对

   Initializing MathJax...

   的偏导数定义为

   Initializing MathJax...

   。
2. 一阶偏导 (函) 数
   如果函数

   Initializing MathJax...

   在定义域内每点偏导数都存在, 则称

   Initializing MathJax...

   与

   Initializing MathJax...

   为偏导函数。
   注: 求

   Initializing MathJax...

   时, 把

   Initializing MathJax...

   看作常量, 直接对

   Initializing MathJax...

   求导。

四、全微分

如果函数

在点 的全增量 可表示为 , 其中 仅与 和 相关, 而与 和 无关, 则称函数 在点 可微, 记 为全微分。

可微

第二节 偏导数的计算

一、高阶偏导数

若函数

的两个偏导数 和 仍然是 的函数, 可以考虑 和 的偏导数, 即二阶偏导数, 依次记为

定理 若函数

的两个混合偏导数 连续, 则 。

二、多元复合函数

设

具有偏导数, 具有连续的偏导数, 则复合函数 的偏导数存在且满足

如果

， 则

同路相乘，异路相加。（相当于一阶的链式求导）

三、隐函数存在定理

1. 一元隐函数存在定理
   存在性: 点

   Initializing MathJax...

   在方程

   Initializing MathJax...

   上, 若函数

   Initializing MathJax...

   在点

   Initializing MathJax...

   的某邻域内具有连续的一阶偏导数且

   Initializing MathJax...

   , 则方程

   Initializing MathJax...

   在点

   Initializing MathJax...

   邻域内能唯一确定一个连续且有连续导数的函数

   Initializing MathJax...

   ;
   导数:

   Initializing MathJax...

   。
2. 二元隐函数存在定理
   存在性: 点

   Initializing MathJax...

   在方程

   Initializing MathJax...

   上, 若函数

   Initializing MathJax...

   在点

   Initializing MathJax...

   的某邻域内具有连续的一阶偏导数且

   Initializing MathJax...

   , 则方程

   Initializing MathJax...

   在点

   Initializing MathJax...

   邻域内能唯一确定一个连续且有连续偏导数的函数

   Initializing MathJax...

   ;
   偏导数:

   Initializing MathJax...

   ,

   Initializing MathJax...

第三节 微分的运算法则

设函数

与 均可微, 则

参考导数的运算法则

第四节 多元函数微分学的应用

一、多元函数的无条件极值

1. 定义
   点

   Initializing MathJax...

   在二元函数

   Initializing MathJax...

   的曲线上, 若

   Initializing MathJax...

   有

   Initializing MathJax...

   , 则称

   Initializing MathJax...

   在

   Initializing MathJax...

   取得极大值; 反之, 称极小值。
2. 极值必要条件

   可疑极值点：偏导为0的点。（或偏导不存在的点，考试不会这么难）

   
   与一元函数类似, 若

   Initializing MathJax...

   , 称

   Initializing MathJax...

   称为函数

   Initializing MathJax...

   的驻点（稳定点）。
   定理: 若

   Initializing MathJax...

   存在且

   Initializing MathJax...

   为极值点, 则必有

   Initializing MathJax...

   ;可偏导的极值点必为稳定点。
   注:
   1. 稳定点未必为极值点;
   2. 若可偏导且不是稳定点则必不为极值点。
3. 极值存在的充分条件
   设函数

   Initializing MathJax...

   在点

   Initializing MathJax...

   的某邻域内具有一阶及二阶连续偏导数, 又

   Initializing MathJax...

   , 即

   Initializing MathJax...

   为稳定点, 令
   

   Initializing MathJax...

   ，

   Initializing MathJax...

   ，

   Initializing MathJax...

   
   则:

   1. Initializing MathJax...

      时

      Initializing MathJax...

      为极值点; 当

      Initializing MathJax...

      时为极大值, 当

      Initializing MathJax...

      时为极小值;

   2. Initializing MathJax...

      时没有极值;

   3. Initializing MathJax...

      时不确定是否为极值。

二、多元函数的条件极值

求解目标函数

在约束条件 下的极值。

拉格朗日乘数法步骤:

1. 作拉格朗日函数

   Initializing MathJax...

   , 其中

   Initializing MathJax...

   为参数;
2. 计算

   Initializing MathJax...

   的驻点, 即解方程组

   Initializing MathJax...

3. 所有驻点即为可疑极值点, 逐个比较, 最大即为所有极大值, 最小即为所有极小值; 若只有一个驻点, 根据实际问题, 该点即为所求。

三、有界闭区域上多元函数的最值

设函数

在有界闭区域 上连续, 求 在 上的最大值与最小值。其方法为:

1. Initializing MathJax...

   内部计算无条件极值: 求解

   Initializing MathJax...

   在

   Initializing MathJax...

   内部的全部稳定点, 做可疑最值点待比较;

2. Initializing MathJax...

   边界

   Initializing MathJax...

   计算条件极值: 求解目标函数

   Initializing MathJax...

   在

   Initializing MathJax...

   的边界方程

   Initializing MathJax...

   为约束条件下的极值,只计算稳定点, 做可疑最值点待比较;
3. 比较 (1)、（2）中所有可疑最值点，最大即为最大值，最小即为最小值。

注:

1. 函数

   Initializing MathJax...

   在有界闭域

   Initializing MathJax...

   上连续，由最值定理，

   Initializing MathJax...

   在

   Initializing MathJax...

   上必有最值;

2. Initializing MathJax...

   有多段边界方程

   Initializing MathJax...

   时, 逐段计算每段下的条件极值。

内部：无条件极值；边界：条件极值；

四、空间曲线的切线与法平面

设空间曲线

的参数方程为: , 曲线 上一点 , 对应参数为 , 则

1. 曲线

   Initializing MathJax...

   在点

   Initializing MathJax...

   的切向量为

   Initializing MathJax...

   ,
2. 切线方程为

   Initializing MathJax...

   ,
3. 法平面方程为

   Initializing MathJax...

   。

五、曲面的切平面与法线

设曲面

的方程为 为曲面 上一点 在点 可微, 则:

1. Initializing MathJax...

   在点

   Initializing MathJax...

   的法向量为:

   Initializing MathJax...

2. 切平面的方程为:

   Initializing MathJax...

3. 法线方程为:

   Initializing MathJax...

六、方向导数与梯度

1. 方向导数
   在许多问题中，不仅要知道函数在坐标轴方向上的变化率（即偏导数），而且还要设法求得函数在某点沿着其他特定方向上的变化率. 这就是本部分所要讨论的方向导数。
   1. 定义:

      Initializing MathJax...

      为平面上以点

      Initializing MathJax...

      为起点,

      Initializing MathJax...

      为方向向量的射线, 将

      Initializing MathJax...

      限 制 在

      Initializing MathJax...

      上, 则

      Initializing MathJax...

      , 若

      Initializing MathJax...

      存在，则称之为函数

      Initializing MathJax...

      在点

      Initializing MathJax...

      沿射线

      Initializing MathJax...

      方向的方向导数, 记为

      Initializing MathJax...

   2. 计算公式:
      如果函数

      Initializing MathJax...

      在

      Initializing MathJax...

      点可微分, 那么函数在该点沿任何方向

      Initializing MathJax...

      的方向导数存在, 而且有

      Initializing MathJax...

      ， 其中

      Initializing MathJax...

      是方向

      Initializing MathJax...

      的方向余弦。
      如果

      Initializing MathJax...

      在

      Initializing MathJax...

      点可微分, 则函数在该点沿方向

      Initializing MathJax...

      的方向 导数为

      Initializing MathJax...

2. 梯度
   1. 定义：设

      Initializing MathJax...

      在平面区域

      Initializing MathJax...

      内具有一阶连续偏导数，对于每一点

      Initializing MathJax...

      ， 向量

      Initializing MathJax...

      ， 这个向量称为

      Initializing MathJax...

      在点

      Initializing MathJax...

      的梯度， 记为

      Initializing MathJax...

      ，即:

      Initializing MathJax...

      
      对于具有连续偏导数的三元函数

      Initializing MathJax...

      , 在其定义区域内的每一点

      Initializing MathJax...

      , 其梯度向量为

      Initializing MathJax...

      。
   2. 方向导数与梯度的关系 沿着梯度的方向, 方向导数最大, 且最大值为梯度的模。