第七章 多元积分学

第一节 二重积分

一、二重积分定义

1. 定义

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2. 几何意义
   以

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   为顶、以

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   为底的曲顶柱体的代数体积。

二、性质及相关定理

1. 线性性

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2. 比较定理
   若

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   上有

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   , 则

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3. 积分中值定理

   土堆

   
   设函数

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   在

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   上连续, 则存在一点

   Initializing MathJax...

   , 使得

   Initializing MathJax...

   极限式中出现了二重积分，且在极限过程下，被积函数趋于一个非零常数，使用二重积分中值定理。

三、二重积分的计算

1. 直角坐标系：将二重积分转化成累次积分
   1. X 型区域：先积 y 再积 x ，先写 x 再写 y ，

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   2. Y 型区域: 先积 x 再积 y , 先写 y 再写 x ,

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2. 极坐标系

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   A. 先积

   Initializing MathJax...

   再积

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   , 先写

   Initializing MathJax...

   再写

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   B. 信号：

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   为圆及圆的部分 (扇、环、弓)

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   含有

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   C. 定限:

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   ;

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3. 对称性（补充）

第二节 三重积分

一、概念

设

是空间有界闭区域 上的有界函数。将 任意分成 个小闭区域 , , 其中 表示第 个小闭区域, 也表示它的体积。在每个 上任取一点 , 作乘积 , 并作和 。用 表示 的直径, 当 趋于零时, 如果和的极限总存在, 且与闭区域 的分法及点 的取法无关, 那么称此极限值为函数 在区域 上的三重积分, 记作 , 即:

其中

叫做被积函数, 叫做体积元素, 叫做积分区域。

二、性质

性质1（线性性质）

, 其中 为定常数。

性质2

，其中 代表空间闭区域 的体积。

性质3（积分区域的可加性）

设

, 则

性质4（奇偶对称性）

设

关于 面对称， 表示 在 面上方的部分，则

设

关于 面对称， 表示 在 面右侧的部分，则

设

关于 面对称, 表示 在 面前面的部分, 则

性质5 (轮换对称性)

若在

的边界曲面中对调 的位置 不变或 关于 对称, 则

若在

的边界曲面中对调 的位置 不变或 关于 对称, 则

若在

的边界曲面中对调 的位置 不变或 关于 对称, 则

三、计算方法

1. 利用直角坐标计算三重积分
   1. 投影法（先一后二）
      沿着

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      轴方向自下而上画一条直线, 找到该直线与积分区域的上下两个交点, 设这两个交点在

      Initializing MathJax...

      方向的坐标分别为

      Initializing MathJax...

      和

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      , 则它们分别为积分变量

      Initializing MathJax...

      的上下限; 然后再找出积分区域在

      Initializing MathJax...

      平面上的投影

      Initializing MathJax...

      , 则该三重积分可表示为

      Initializing MathJax...

      . 其中, 计算二重积分时可选用直角坐标也可以选用极坐标; 如选用极坐标, 则该积分坐标又称为柱面坐标.
      若空间闭区域

      Initializing MathJax...

      , 其中

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      ，则
      

      Initializing MathJax...

      =

      Initializing MathJax...

      =

      Initializing MathJax...

   2. 平面截割法（先二后一）
      作一个垂直于

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      轴的平面, 找到该平面与积分区域截面在

      Initializing MathJax...

      平面上的投影

      Initializing MathJax...

      , 则计算二重积分时的积分区域即为

      Initializing MathJax...

      ; 再确定

      Initializing MathJax...

      的上下限

      Initializing MathJax...

      即可。 此时三重积分可表示

      Initializing MathJax...

      .
      设空间闭区域

      Initializing MathJax...

      , 其中

      Initializing MathJax...

      是坚坐标为

      Initializing MathJax...

      的平面截闭区域

      Initializing MathJax...

      所得到的一个平面闭区域, 则有

      Initializing MathJax...

2. 利用球坐标计算三重积分
   1. 直角坐标与球面坐标的关系
      点

      Initializing MathJax...

      的直角坐标与球面坐标间的关系为

      Initializing MathJax...

      
      其中

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      ，

      Initializing MathJax...

      ，

      Initializing MathJax...

   2. 利用球面坐标计算三重积分
      若空间闭区域

      Initializing MathJax...

      可表示为

      Initializing MathJax...

      
      则

      Initializing MathJax...

      Initializing MathJax...

3. 选择球坐标的原则

   1. Initializing MathJax...

      的边界曲面的方程用球面坐标表示较简单 (常见的有球体、顶点在原点的圆锥面与球面所围立体);
   2. 被积函数

      Initializing MathJax...

      中含有

      Initializing MathJax...

      。

第三节 曲线积分

一、第一类曲线积分

1. 概念
   物理背景：粗细不均的曲线形构件的质量。
   设

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   为

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   平面内的一条光滑曲线, 函数

   Initializing MathJax...

   在该曲线上有界。 将

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   分为

   Initializing MathJax...

   个小段, 设第

   Initializing MathJax...

   个小段的长度为

   Initializing MathJax...

   , 在第

   Initializing MathJax...

   个小段上任取一点

   Initializing MathJax...

   , 作和式

   Initializing MathJax...

   。如果当各小段的最大长度

   Initializing MathJax...

   时, 该和式的极限存在, 我们就把该极限称为函数

   Initializing MathJax...

   在曲线

   Initializing MathJax...

   上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分, 记作

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   。
2. 基本性质
   1. 线性性:

      Initializing MathJax...

      。
   2. 对积分弧段的可加性：

      Initializing MathJax...

   3. 比较定理:

      Initializing MathJax...

      。

   4. Initializing MathJax...

      。
3. 计算方法

   和弧微分类比（在三种坐标系/方程下）

   1. 设曲线

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      的参数式为

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      , 则有计算公式:

      Initializing MathJax...

   2. 如果曲线

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      是由函数

      Initializing MathJax...

      决定的, 相应的计算公式可改为：

      Initializing MathJax...

   3. 如果曲线

      Initializing MathJax...

      是由极坐标方程

      Initializing MathJax...

      决定的, 相应的计算公式可改为：

      Initializing MathJax...

4. 对称性
   1. 奇偶性： 若

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      关于

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      平面对称, 则

      Initializing MathJax...

   2. 轮换对称性： 若

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      关于平面

      Initializing MathJax...

      对称, 则

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线、面积分的被积函数可代入；重积分不可带入；

二、第二类曲线积分

有方向的

类似

Initializing MathJax...

物理背景：变力沿曲线做的功。

设

为 平面内从 点到 的一条有向光滑曲线, 函数 在该曲线上有界。将 分为 个有向弧段 , 在第 个小段上任取一点 , 作和式 与 。如果当各小段的最大长度 时, 和式 的极限存在, 该极限称为函数 在曲线 上对坐标 的曲线积分, 记作 。 类似地, 如果和式 的极限存在，该极限称为函数 在曲线 上对坐标 的曲线积分，记作 。上述定义可以推广到三维的情况。

三、格林公式

1. 定理：设闭区域

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   由分段光滑曲线

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   围成， 若函数

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   及

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   在

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   上具有连续的一阶偏导数, 则有:

   Initializing MathJax...

   
   其中曲线

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   是

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   的取正向的边界曲线。(正向：沿L走时候，区域在左手边)
   注：
   1. 在运用时要注意检验

      Initializing MathJax...

      及

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      是否具有所需的连续的一阶偏导数。

   2. Initializing MathJax...

      是闭合的。
   3. 正向定义: 沿着曲线

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      的方向走时, 闭区域

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      在其左手边。
2. 平面上曲线积分与积分路径无关的条件
   要讨论对坐标的曲线积分

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   在什么条件下只与

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   的起点

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   和终点

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   有关, 而与具体的积分路径无关.结合曲线积分的性质和格林公式，有如下结论：
   定理1：曲线积分

   Initializing MathJax...

   在平面区域

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   内与路径无关的充要条件是对

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   内的任意分段光滑有向闭合曲线

   Initializing MathJax...

   。
   定理2: 设区域

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   为单连通区域, 并且

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   在

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   内具有连续的一阶偏导数, 则曲线积 分

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   在平面区域

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   内与路径无关的等价于对

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   的任意子区域

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   ,

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   ; 也等价于

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   在

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   内恒成立。

第四节 曲面积分

一、第一类曲面积分

1. 概念
   物理背景：厚薄不均的曲面型物件的质量。
   设

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   为三维空间中的光滑曲面，函数

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   在该曲线上有界。将

   Initializing MathJax...

   分为

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   个小块，设第

   Initializing MathJax...

   个小块的面积为

   Initializing MathJax...

   , 在第

   Initializing MathJax...

   个小块上任取一点

   Initializing MathJax...

   , 作和式

   Initializing MathJax...

   。 如果当各小块的最大直径

   Initializing MathJax...

   时, 该和式的极限存在, 该极限称为函数

   Initializing MathJax...

   在曲面

   Initializing MathJax...

   上对面积的曲面积分或第一类曲面积分, 记作

   Initializing MathJax...

   。
2. 基本性质
   1. 线性性:

      Initializing MathJax...

   2. 对积分曲面的可加性:

      Initializing MathJax...

   3. 如果当

      Initializing MathJax...

      时,

      Initializing MathJax...

      , 则有

      Initializing MathJax...

   4. Initializing MathJax...

      , 其中

      Initializing MathJax...

      表示曲面

      Initializing MathJax...

      的面积。
3. 计算方法
   假设积分曲面可以表示为

   Initializing MathJax...

   , 则有

   Initializing MathJax...

   
   计算时, 首先将积分曲面转化为

   Initializing MathJax...

   , 再将

   Initializing MathJax...

   转化为

   Initializing MathJax...

   , 最后再确定曲面

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   在 xoy 平面上的投影即可。

二、第二类曲面积分

1. 概念
   物理背景：流向曲面一侧的流量。
   设

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   为三维空间中的有向光滑曲面, 向量值函数

   Initializing MathJax...

   在该曲面上有界。 将

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   分为

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   个小块, 设第

   Initializing MathJax...

   个小块的面积为

   Initializing MathJax...

   , 在第

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   个小块上任取一点

   Initializing MathJax...

   , 则单位时间内通过第

   Initializing MathJax...

   个小块的液体体积可近似表示为

   Initializing MathJax...

   , 其中

   Initializing MathJax...

   是有向曲面

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   在点

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   处的法向量, 设

   Initializing MathJax...

   , 则有

   Initializing MathJax...

   
   因此, 单位时间内流过曲面

   Initializing MathJax...

   的液体体积近似于和式

   Initializing MathJax...

   
   由法向量的意义可知,

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   实际上是有向面积元

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   平面上的投影, 因此记

   Initializing MathJax...

   。 同样记

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   。
   则和式可改写为

   Initializing MathJax...

   
   最后我们得到对坐标的曲面积分:

   Initializing MathJax...

2. 基本性质
   1. 线性性:

      Initializing MathJax...

   2. 对积分曲面的可加性:

      Initializing MathJax...

   3. 设有向曲面

      Initializing MathJax...

      的反向曲面为

      Initializing MathJax...

      , 则有

      Initializing MathJax...

3. 计算方法
   设积分曲面

   Initializing MathJax...

   是由函数

   Initializing MathJax...

   所确定的曲面上侧（其中

   Initializing MathJax...

   为

   Initializing MathJax...

   在

   Initializing MathJax...

   平面上的投影 ， 则有

   Initializing MathJax...

三、高斯公式

定理：设空间闭区域

是由分片光滑的闭曲面 围成的, 函数 与 在 上具有一阶连续偏导数, 则有：

或

这里

是 整个边界的外侧, 是 在点 处的法向量的方向余弦。

注：应用高斯公式的时候容易出错的地方

1. 没有搞清楚

   Initializing MathJax...

   对什么变量求偏导;

2. Initializing MathJax...

   在闭区域

   Initializing MathJax...

   上部分点处没有连续的一阶偏导数的情况下用公式计算：
3. 忽略了

   Initializing MathJax...

   的取向，注意取闭曲面的外侧。