第八章 微分方程

一、微分方程的基本概念

1. 微分方程定义
   形如

   Initializing MathJax...

   的方程称为微分方程, 其中

   Initializing MathJax...

   为方程的解。
2. 阶：n 为最高阶导数的阶数
   通解：所有解的形式，含

   Initializing MathJax...

   个任意常数
   特解：任意常数确定后的解称为特解
   初值条件:

   Initializing MathJax...

   , 可求解常数。
3. 线性微分方程：
   

   Initializing MathJax...

   在方程中以一次形式出现
   

   Initializing MathJax...

   阶线性:

   Initializing MathJax...

   
   当自由项

   Initializing MathJax...

   时, 称线性齐次方程

二、一阶微分方程

1. 可分离变量方程：

   Initializing MathJax...

   
   可转化为

   Initializing MathJax...

   ,
   积分得

   Initializing MathJax...

2. 齐次方程:

   Initializing MathJax...

   
   解法: 令

   Initializing MathJax...

   , 则

   Initializing MathJax...

   , 代入有

   Initializing MathJax...

   ，整理得

   Initializing MathJax...

   , 积分得

   Initializing MathJax...

   。
3. 一阶线性微分方程:

   Initializing MathJax...

   
   其通解为

   Initializing MathJax...

三、线性微分方程解的结构

记

定理一：齐次解的组合

若

为方程Ⅱ的解, 则其线性组合 仍为方程Ⅱ解。

齐次解的线性组合仍为齐次解

定理二: 齐次通解

方程Ⅱ有

个线性无关解 ， 其通解为

定理三: 非齐次解的组合

若

为方程Ⅰ的解，则其线性组合 为 的解

特别地，

仍为非齐解

为齐次解

例如

为齐次解、 为非齐解

定理四：非齐次通解

为方程Ⅰ任意特解, 则 为方程Ⅰ通解。

非齐通解 = 齐次通解 + 非齐特解

定理五: 线性叠加原理

记

若

方程 Ⅲ 的特解， 方程 Ⅳ 的特解，则其组合 是方程 的特解。

四、二阶常系数微分方程的解法

二阶常系数微分方程

特征方程:

；两根

1. 齐通：

   Initializing MathJax...

   Initializing MathJax...	Initializing MathJax...
   两不相等的实根 Initializing MathJax...	Initializing MathJax...
   两个相等的实根 Initializing MathJax...	Initializing MathJax...
   一对共轭复根 Initializing MathJax...	Initializing MathJax...

2. 非齐特

   Initializing MathJax...

   (待定)

Initializing MathJax...	条件	Initializing MathJax... （待定）
Initializing MathJax...	Initializing MathJax...	Initializing MathJax...
Initializing MathJax...	Initializing MathJax... 是特征方程； k重根；k=0,1；l=max {m, n}	Initializing MathJax...

注:

1. Initializing MathJax...

   中:

   Initializing MathJax...

   分别为

   Initializing MathJax...

   次、

   Initializing MathJax...

   次多项式
   

   Initializing MathJax...

   中:

   Initializing MathJax...

   分别为待定系数的

   Initializing MathJax...

   次、

   Initializing MathJax...

   次、

   Initializing MathJax...

   次多项式

2. Initializing MathJax...

   时, 即

   Initializing MathJax...

   , 即

   Initializing MathJax...

3. 自由项

   Initializing MathJax...

   时, 考虑

   Initializing MathJax...

   的特解分别为

   Initializing MathJax...

   , 则

   Initializing MathJax...

4. Initializing MathJax...

   阶常系数齐次通解

例如： 5 阶常系数齐次微分方程的特征根为

, 则其通解为