第一章 静电场

第一节 电荷和库仑定律

三、库仑定律

其中，

（ 为真空相对介电常数）

第二节 电场和电场强度

一、电场和电场强度

（二）电场强度的定义

放入电场中某点的检验电荷所受到的电场力

跟它的电荷量 的比值，叫做电场强度。电场强度是矢量， 用符号 表示，即 。 电场强度的方向为正电荷在该点受力的方向。

二、电场叠加原理和给定电荷分布电场强度的计算

（一） 点电荷的电场强度

如图所示，真空中静止点电荷

在距离 处的 点产生的电场强度为

（推导可得出）

式中

是点电荷 指向 点的单位矢量。 点电荷 在空间任一点所激发的电场强度大小，与点电荷的电荷量 成正比， 与点电荷 到该点距离 的平方成反比。如果 为正电荷， 的方向与 的方向一致，否则相反。

（四）连续分布电荷的电场强度的计算

1. 体分布带电体
   如果带电体电荷分布在整个体积内，则电荷元

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   为电荷体密度。 则体分布带电体在

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   点激发的电场强度为

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   (体分布) 。
2. 面分布带电体
   如果带电体电荷分布在整个薄层内，则电荷元

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   为电荷面密度。 则面分布带电体在

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   点激发的电场强度为

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   (面分布)。
3. 线分布带电体 如果带电体电荷分布在整个线段中，则电荷元

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   为电荷线密度。 则线分布带电体在

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   点激发的电场强度为

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   (线分布)。

第三节 静电场的通量和高斯定理

二、电场强度的通量

通过某一个面 的电场强度通量等效为通过面 的电场线的条数。

1. 均匀电场，

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   是平面，且与电场线垂直，电场强度通量

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   。
2. 均匀电场，

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   是平面，与电场线不垂直，电场强度通量

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   ，

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   是

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   的法线和电场线的夹角。

3. Initializing MathJax...

   是任意曲面，

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   是非均匀电场，把

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   分为无限多

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   ， 令

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   为

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   的单位法线矢量， 则

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   ，通过

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   的通量

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   ， 通过整个曲面的电场强度通量

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   。

三、静电场的高斯定理

(一) 静电场高斯定理的表述及证明

1. 高斯定理的表述
   真空中静电场内，通过任意闭合曲面的电场强度通量等于该曲面所包围的电量的代数和除以

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   ，一般写为

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   高斯定理是静电场的基本定理之一，揭示了场和场源的内在联系，反映了静电场是有源场这一事实。它适用于任何静电场。
2. 高斯定理的证明
   点电荷

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   位于闭合曲面

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   内，通过

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   的电场强度通量为

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   球面面元

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   的大小可写成

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   为面元对质点的立体角，

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   的面积分为

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   。
   因此穿过闭合曲面 的电场强度通量为

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   如果闭合曲面内有

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   个点电荷，根据电场强度叠加原理，通过闭合曲面的电场强度通量为

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(二) 应用静电场高斯定理求解三种特殊对称场的电场强度分布

1. 电荷呈球对称分布时所激发的电场强度
   (1) 电荷

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   均匀分布在球体内
   设球半径为

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   , 球所带电量为

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   , 过

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   点做半径为

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   的高斯面。

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   点在球外时，此闭合曲面包围的电荷就是整个球体的电荷，由高斯定理得

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   ， 解得

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   。 $P$ 点在球内时，高斯面包围的电荷量是半径为 $r$ 的球体内的电荷量，即

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   是电荷体密度，且

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   。 由高斯定理得

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   解得

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   。
   (2)电荷 $q$ 均匀分布在球面上.
   利用高斯定理可得， $P$ 点在球外时， $E=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} ; P$ 点在球内时，高斯面包围 的电荷量为零，因此 $E=0$ 。
2. 电荷均匀分布的一个 "无限大" 平面所激发的电场强度
   如图所示为电荷均匀分布的一个 "无限大" 平面, 电荷面密度为 $\sigma$, 作如图所示的圆柱形高斯面， $P$ 和 $P$ 点对称。电场线与高斯面侧面平行，通过侧面的电场强度通量为零。穿过圆柱形闭合曲面的电场强度通量为
   $$ \Phi=E S+E S=2 E S_0 $$
   由高斯定理得 $\mathscr{f}_S E \cdot \mathrm{~d} S=2 E S=\frac{\sigma S}{\varepsilon_0}$, 电场强度 $E=\frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}$
   上式表明，"无限大" 带电平面所激发的电场强度与离平面的距离无关，即在平面的两侧形成一均匀场。
3. 电荷呈 "无限长"圆柱形轴对称均匀分布时所激发的电场强度

设圆柱的半径 $R$ ，单位长度所带的电荷量为 $\lambda$ 。过 $P$ 点作一个与带电圆柱共轴的圆柱形闭合高斯面，柱高为 $h$ ，底面半径为 $r$ 。电场线与高斯面底面平行，穿过底面的电场强度通量为零。电场线与高斯面侧面垂直，穿过侧面的电场强度通量为 $\Phi=2 \pi r h E$ 。 (1) $P$ 点位于圆柱体之外，则高斯面包围的电荷量为 $\lambda h$ ，由高斯定理得 $\oiint_S \cdot \mathrm{~d} S=2 \pi r h E=\frac{\lambda h}{\varepsilon_0}$ ，电场强度 $E=\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r^2} 。$ (2) $P$ 点位于圆柱体之内，则闭合曲面包围的电荷量为 $q^{\prime}=\frac{\lambda h r^2}{R^2}$ ，由高斯定理得 $\oiint_S \cdot \mathrm{~d} S=2 \pi r h E=\frac{\lambda h r^2}{\varepsilon_0 R^2}$, 电场强度 $E=\frac{\lambda r}{2 \pi \varepsilon_0 R^2}$ 。

四、静电场的环路定理和电势

(一) 环流的定义 矢量场 $r$ 对于闭合曲线 $C$ 的环流定义为该矢量对闭合曲线 $C$ 的线积分，即 $\Gamma=\oint_F \cdot \mathrm{~d} l$ 。如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无旋场，或称为保守场。 （二）静电场的环路定理 静电场的电场强度 $E$ 沿任一闭合路径的线积分等于零，即环流等于零，表示为

这是反映静电场基本特性的一个重要规律，称为静电场的环路定理。静电场是无旋场。

二、静电场力的功和电势能

(一) 静电场力的功及其特点如图所示，设有一点电荷 $q$ 固定在 $O$ 点，在 $q$ 产生的电场中，有一试探电荷 $q_0$ 从 $a$ 点经过任意路径 $a c b$ 移动到 $b$ 点。 当试探电荷 $q$ 从 $a$ 点移动到 $b$ 点时, 电场力所做的功为 $W=\int_a^b F \cdot \mathrm{~d} l=\int_a^b q_0 E \cdot \mathrm{~d} l=\int_a^b q_0 E \cos \theta \cdot \mathrm{~d} l$ 。从图中可以看出, $\cos \theta \mathrm{d} l=\mathrm{d} r$, 将点电荷的电场强度 $E=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{r^2}$ 代入后得

式中 $r_a$ 和 $r_b$ 分别表示从点电荷 $q$ 所在处到路径的起点和终点的距离。

(一) 静电场力的功及其特点 如果试探电荷 $q_0$ 在点电荷系 $q_1, q_2, \cdots, q_n$ 的电场中移动，由场强叠加原理得到，合力做的功

由上式可以得出结论，试探电荷在任何静电场中移动时，电场力所做的功只与试探电荷的大小及路径的起点和终点的位置有关，而与路径无关。

(二) 电势能的定义与计算 电势能在量值上等于把电荷从该点经任意路径移到无穷远处电场力所做的 功。用公式表示为

电势能不是单个试探电荷所固有的，而是属于试探电荷和电场这个系统的。

(一) 电势的定义 电势能与试探电荷 $q_0$ 的比值

与试探电荷 $q_0$ 无关，只决定于电场中给定点 $P$ 处电场的性质，所以我们用这一比值来作为表征静电场中给定点电场性质的物理量，称为电势。 用 $V_P$ 表示 $P$ 点的电势，即 。 在静电场中，任意两点 $a$ 和 $b$ 的电势差， 称为电压，用公式表示为

。

（三）电势的计算 （1）点电荷的电势 点电荷 $q$ 静止于坐标原点，则距 $q$ 为 $r$ 的 $P$ 点的电势为

。

（2）点电荷系电场中的电势 包含 $n$ 个点电荷 $q_1, q_2, \cdots, q_n$ 的点电荷系激发的电势为

(3) 连续分布电荷电场中的电势 计算连续分布电荷电场中的电势，可以根据电势叠加原理，将带电体分成无数电荷元 $\mathrm{d} q$ 每个电荷元在 $P$ 点的电势， 可根据点电荷的电势公式进行计算，因而整个带电体在 $P$ 点的电势为

。

四、等势面和电势梯度

(一) 等势面的定义 电场中电势相等的点构成的曲面叫做等势面。以下是两种常见的等势面。 （1）点电荷电场中的等势面：以点电荷为球心的一簇球面，如左图所示。 （2）等量异种点电荷电场中的等势面：是两簇对称曲面，如右图所示。 (二) 等势面的特点 (1) 在同一等势面上任意两点间电势差为零，所以在同一等势面上移动电荷电场力不做功。 （2）等势面与电场线垂直，电场线指向电势降低最快的方向。 （3）任意两个相邻的等势面间的电势差都相等，所以电场强度大的地方，等势面密集。

(一) 电势梯度和电场强度的关系

电场线指向电势降低最快(梯度)的方向

已知电势分布，空间某点处的电势梯度定义为 $\operatorname{grad} V=\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{~d} l_n} e_n$, 即电场中某点的电势梯度矢量，在方向上与电势在该点处空间变化率为最大的方向相同，在量值上等于该方向上的电势空间变化率。 在空间直角坐标系中，电势梯度 $\operatorname{grad} V$ 可写成 $g r a d V=\frac{\partial V}{\partial x} i+\frac{\partial V}{\partial y} j+\frac{\partial V}{\partial z} k$ 。 （二）已知电势分布求电场强度 已知电势分布 $V$, 静电场中某点的电场强度等于该点电势梯度的负值，即