第二章 有导体、电介质存在时的静电场

第一节 静电场中的导体

一、静电感应

导体内自由电荷在电场力作用下重新分布，导体两端出现等量正、负感应电荷的现象称为静电感应现象。导体表面所带的这种电荷称为感应电荷。

导体的静电平衡状态是指导体内没有电荷做定向运动。 导体静电平衡的必要条件是导体内任一点的电场强度都等于零。 由导体的静电平衡条件，得出处在静电平衡状态的导体具有以下性质。 （1）导体是等势体，其表面是等势面。 （2）导体表面的电场强度垂直于导体表面。

静电平衡条件下导体上的电荷分布

（一）静电平衡条件下导体上的电荷分布

当带电导体处于静电平衡状态时，导体内部没有净电荷，导体所带的电荷只能分布于导体的外表面上。

（二）导体外表面电场强度和电荷面密度的关系

带电导体表面附近的电场强度与该表面的电荷面密度成正比，电场强度方向垂直于表面，即

其中， $\sigma$ 是导体表面的电荷面密度， $e_n$ 是导体表面的法向单位矢量。

（三）孤立导体的电荷分布

对于一孤立的带电导体，电荷在其表面上的分布由导体表面的曲率决定，即导体表面曲率较大，电荷密度较大；导体表面曲率较小，电荷面密度较小；导体表面曲率为负，电荷面密度更小。

（四）尖端放电现象

带电导体尖端的电场线特别密集，尖端附近的电场特别强，可使尖端附近的空气发生电离从而使导生放电的现象，叫做尖端放电现象。

静电屏蔽

在静电平衡状态下, 空腔导体外面的带电体不会影响空腔内部的电场分布; 一个接地的空腔导体，空腔内的带电体对腔外的物体不会产生影响。这种使导体空腔内的电场不受外界的影响或利用接地的空腔导体将腔内带电体对外界的影响隔绝的现象，称为静电屏蔽。

有导体存在时电场强度的计算

在计算有导体存在时的电场强度时，可以考虑以下几点。

（1）静电平衡的条件，

。

（2）基本性质方程

。

（3）电荷守恒定律

常量。

第二节 电介质及其极化

电介质的微观结构

电介质是电阻率很大、导电能力很差的物质，其特征在于它的原子或分子中的电子与原子核的结合力很强，电子处于束缚状态。当电介质处在电场中时，在电介质中，原子中的电子、分子中的离子或晶体点阵上的带电粒子在电场作用下，都会在原子大小的范围内移动，当达到静电平衡时，在电介质表面层或在体内出现极化电荷，这个现象称为电介质的极化。

按照电介质分子内部的电结构不同，电介质分为有极分子和无极分子。 有极分子：分子的正电荷中心与负电荷中心不重合，如 $\mathrm{H}_2 \mathrm{O}, \mathrm{HCl} 、 \mathrm{CO}$ 、 $\mathrm{NH}_3$ 等。 无极分子：分子的正电荷中心与负电荷中心重合，如 $\mathrm{H}_2$ 、 $\mathrm{He} 、 \mathrm{~N}_2$ 、 $\mathrm{CH}_4$ 等。

电介质的极化

(一) 两种介质的极化机制 (1) 无极分子的位移极化

无极分子电介质在外电场中电场力的作用下，分子中的正、负电荷中心将发生相对位移，形成一个电偶极子，它们的等效电偶极矩 $p$ 的方向都沿着电场的方向，

。由于无极分子的极化来自正、负电荷中心的相对位移，所以常叫做位移极化。

(2) 有极分子的取向极化

每个分子可以等效为一个电偶极子，在外电场的作用下，将受到力矩的作用，使分子的电偶极矩 $p$ 转向电场的方向，宏观上看，在电介质与外电场垂直的两表面上会出现极化电荷。有极分子的极化就是等效电偶极子转向外电场的方向，所以叫做取向极化。 不论是有极分子还是无极分子的极化，微观机理虽然不相同，但在宏观上表现相同。 （二）极化强度的定义 单位体积内分子电偶极矩的矢量和称为电极化强度，即

在国际单位中， 电极化强度的单位是 外电场越强，被极化的程度越大。

极化电荷、极化电荷与极化强度的关系

（一）极化电荷的产生 由于电介质的极化而在介质内部或表面上出现的宏观电荷叫做极化电荷。这些宏观电荷不能离开电介质，也不能在电介质内自由移动，故也称为束缚电荷。极化电荷是由于电介质极化产生的, 电极化强度与极化电荷之间存在一定的关系。 （二）介质表面的极化电荷和极化强度的关系 在介质中一厚度为 $l$ ，表面积为 $S$ 的电介质薄片，放置在一均匀电场 $E$ 中，薄片两表面产生极化电荷，薄片的电极化强度 $P$ 平行于电场强度。薄片的电偶极矩 $\sum_p$ 是电极化强度与薄片体积的乘积 $P S l$ ，相当于薄片表面的极化电荷与薄片表面的正负电荷分开的距离 $l$ 的乘积。因此薄片表面的极化电荷面密度等于电极化强度的大小。 在一般情况下，设 $e_n$ 为薄片表面的单位法向矢量，则

由此可知，介质极化产生的极化电荷面密度等于电极化强度沿介质表面外法线的分量。在薄片侧面，由于 $P$ 的方向与侧面法线垂直，所有侧面上。的极化电荷面密度为零。

介质中的静电场

均匀、线性和各向同性电介质的极化规律: 对于各向同性电介质，电极化强度

和介质内部的合电场强度 的关系为

式中的比例因数

和电介质的性质有关，叫做电介质的电极化率，是量纲为 1 的量。

无限大平行板间充有电极化率为

的电介质，电介质的相对电容率(相对介电常数)

在自然界也存在一些电介质，在一定的温度范围内电容率随电场变化而变化，它们的极化规律有着复杂的非线性关系。

第三节 电位移矢量和有介质存在时的高斯定理

(一) 电位移矢量的定义 电位移矢量是一个辅助量，与电场强度的关系取决于极化强度。对于各向同性线性介质，定义电位移矢量

。 电位移 $D$ 的单位是 。 (二) 电介质的电磁性质方程

1. 电位移通量

仿照电场线的方法，在有电介质的静电场中，作电位移线，使线上每一点的切线方向和该点电位移 $D$ 的方向相同， 并规定在垂直于电位移线的单位面积上通过的电位移线数目等于该点的电位移 $D$ 的量值， 即电位移通量

。电位移线起自正电荷，止于负电荷，包括自由电荷和极化电荷。

2. $D 、 E 、 P$ 三矢量之间的关系

其中，

为电极化率， 为真空电容率， $\varepsilon_r$ 为相对电容率， $\varepsilon$ 为电容率。

(一) 有介质存在时的高斯定理 有介质时，自由电荷和束缚电荷共同产生电场，

。 $E$ 满足高斯定理：

可以证明:

则

。 上式即有电介质时的高斯定理。

由有电介质时的高斯定理可知，通过电介质中任一闭合曲面的电位移通量等于该面包围的自由电荷的代数和。

(二) 有电介质时的环路定理 有电介质存在时，电场强度的环路定理仍然成立:

式中的 $E$ 是所有电荷（自由电荷和极化电荷）所激发的静电场中的各点的合电场强度。 （三）用高斯定理求解有介质时的场强分布和电荷分友 【例子】一半径为 $R$ 的金属球，带有电荷 $q_0$ ，浸埋在均匀 "无限大" 电介质 (电容率为

) 中， 求球外任一点 $P$ 的场强及极化电荷分布。 解：金属球是等势体，介质以球心为中心对称分布，可知电场分布仍具有球对称性，用有电介质时的高斯定理求解。 过 $P$ 点作一半径为 $r$ 且与金属球同心的闭合球面 $S$,由高斯定理知

（三）用高斯定理求解有介质时的场强分布和电荷分布写成矢量式

： 因 ，所以离球心 $r$ 处 $P$ 点的场强为

结果表明：带电金属球周围充满均匀无限大电介质后，其场强减弱到真空时的

, 可求出电极化强度为

（三）用高斯定理求解有介质时的场强分布和电荷分布 电极化强度 $P$ 与 $r$ 有关，是非均匀极化。在电介质内部极化电荷体密度等于零，极化电荷分布在与金属交界处的电介质表面上（另一电介质表面在无限远处）， 其电荷面密度为

。

在交界面处自由电荷和极化电荷的总电荷量为

，总电荷量减小到自由电荷量的 。

第四节 电容和电容器

一、电容

(一) 电容的定义 电容是表征导体储电能力的物理量，其物理意义是使导体升高单位电势所需的电荷量。 （二）孤立导体的电容 孤立导体的电势 与与它所带的电荷量 $q$ 呈线性关系，我们把比例系数 $C$ 称为孤立导体的电容。它只与导体的大小、形状和周围介质有关。其公式为

(一) 平行板电容器的电容 如图所示, 最简单的电容器由靠得很近、相互平行、同样大小的两片金属板组成。设每块极板的面积为 $S$ ，两极板内表面间的距离为 $d$ 。 平行板电容器场强

为电荷密度。板间电势差

电容

。

平行板电容器

平行板电容器的电容 $C$ 和极板的面积 $S$ 成正比, 和两极板间的距离 $d$ 成反比。

(二) 球形电容器的电容 球形电容器是由半径分别为 $R_A 、 R_B$ 的两个同心的金属球壳组成，如下图所示。

设内外球壳分别带有电荷 $+q$ 和 $-q$ ，则球壳间场强

,

(三)柱形电容器的电容

圆柱形电容器（如下图所示）由内径 $R_A, R_B$ 外径两同轴导体圆柱面 $A$和 $B$ 组成，且圆柱体的长度此半径 $R$ 大得多。设内、外柱面带电分别为

$+q$ 和 $-q$ ，则单位长度的带电量为

，作半径为 $r$ 、高为 $l$ 的高斯柱面。

（三）柱形电容器的电容

因为 $E \perp \mathrm{~d} S$ ，所以

$\Phi=\Phi_{\text {侧 }}=\iint_{\text {侧 }} E \mathrm{~d} S \cos \theta=E \cdot 2 \pi r l=\frac{\lambda l}{\varepsilon_0}$

柱面间的电势差

电容

（一）电容器的串联

（二）电容器的并联

第五节 静电场的能量

$(-)$ 静电体系的静电能 把系统从某一状态无限分裂到彼此相距无限远状态的过程中，静电场力做的功，叫做系统在该状态时的静电势能，简称静电能。也可以说是将这些带电体从无限远的状态聚合到该状态的过程中，外力克服静电力做的功。 （二）点电荷系的静电能

1. 两个点电荷中间的静电能

将两个点电荷 $q_1 、 q_2$ 从相距无限远处先后移动到相距 $r$ 的位置，在这个过程中，外力克服电场力做功为

两个点电荷系统的静电能为

（二）点电荷系的静电能

2. $n$ 个点电荷系统的静电能

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3. 连续分布带电体的电能

（三）自能和相互作用能

设有 $N$ 个带电体，体积分别为 $V_1, V_2, \cdots, V_n$ ，可将空间的总电势分为两部分， $U(r)=U_i(r)+U^{(i)}(r)$ 。 式中， $U_i(r)$ 表示除第 $i$ 个带电体外其余所有带电体在 $r$ 处产生的电势， $U^{(i)}(r)$表示第 $i$ 个带电体在 $r$ 处产生的电势。

则

第一项称为自能，第二项称为互能。

（四）电容器的静电能 在电容器充电过程中，当电容器从 $q=0$ 开始充电到带有电荷量 $q=Q$ 时，外力所做的总功为

这个功应等于带电电容器的静电能。 则

， 在平行板电容器中,

由此可知，静电能可以用电场强度来表示，而且和电场所占的体积 $V=S d$ 成正比。

（一）静电场的能量密度表达式电场中单位体积的电场能量, 称为电场能量密度。在平行板电容器中,

在一般情况下，电场能量密度为

在各向同性介质中, ，电场能量密度 。

(二) 静电场的能量

任一带电系统整个电场中所储存的总能量为

式中积分区域遍及整个电场空间。